《2025年教材完全解读七年级数学上册苏科版》

例2 2023·山西中考
如图3-1-3是一组有规律的图案,它由若干个大小相同的圆片组成。第1个图案中有4个白色圆片,第2个图案中有6个白色圆片,第3个图案中有8个白色圆片,第4个图案中有10个白色圆片,……依此规律,第n个图案中有______个白色圆片(用含n的代数式表示)。

解 第1个图案中有2+2×1= 4(个)白色圆片；第2个图案中有2+2×2= 6(个)白色圆片；第3个图案中有2+2×3= 8(个)白色圆片；……依此规律,第n个图案中有(2+2n)个白色圆片。
答 (2+2n)
技巧点拨
先从简单的例子入手,得出一般性结论,再验证结论。
变式2 见答案P212
将正整数按如图3-1-5所示的方式排列,根据图中的规律,20应在( )。


A.A位
B.B位
C.C位
D.D位

答案： 【解析】：
观察图形可知，正方形每次扩展都是扩展在右下角，且每次扩展增加1个正方形。
第1排的最后一个是$2^2=4$，第2排的最后一个是$3^2=9$，第3排的最后一个是$4^2=16$，第4排的最后一个是$5^2=25$。
因为$4^2=16\lt 20\lt 25=5^2$，所以20在第4排。
第4排的数字是从17开始，依次递增1，直到25结束。
17在D位，18在A位，19在B位，20在C位。
【答案】：C

例1 2023·长春中考
2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑,某同学参加了7.5 km健康跑项目,他从起点开始以平均每分钟x km的速度跑了10 min,此时他离健康跑终点的路程为______km。(用含x的代数式表示)
解 由题意可得,他从起点开始以平均每分钟x km的速度跑了10 min,此时他离健康跑终点的路程为(7.5-10x)km。
答 (7.5-10x)

答案： 解：由题意，该同学10分钟跑的路程为10x km，总路程为7.5 km，所以离终点的路程为(7.5 - 10x)km。
答：(7.5 - 10x)

例2 2023·绥化中考
在求1+2+3+…+100的值时,发现：1+100= 101,2+99= 101…,从而得到1+2+3+…+100= 101×50= 5050。按此方法可解决下面问题。
图3-1-6①有1个三角形,记作$a_{1}= 1$；分别连接这个三角形三边中点得到图3-1-6②,有5个三角形,记作$a_{2}= 5$；再分别连接图3-1-6②中间的小三角形三边中点得到图3-1-6③,有9个三角形,记作$a_{3}= 9$；按此方法继续下去,则$a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}= $______。(结果用含n的代数式表示)

解 ∵图①有1个三角形,记作$a_{1}= 1$；图②有5个三角形,记作$a_{2}= 5= 1+4= 1+4×1$；图③有9个三角形,记作$a_{3}= 9= 1+4+4= 1+4×2$；…,∴图ⓝ中三角形的个数为$a_{n}= 1+4(n-1)= 4n-3$,∴$a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}= 1+5+9+…+(4n-3)= \frac{1+4n-3}{2}·n= 2n^{2}-n$。

答 $2n^{2}-n$
解题通法
解答图形规律探究型题目的一般方法
(1)解答这类题的关键是找到第一个图形,把第一个图形作为基本图形,再观察后面的图形,从而发现规律。
(2)解决此类问题,要善于发现前后两个图形之间的联系,找到前后两个图形中蕴含的变与不变的量。从不同的角度去分析,找出问题中的数量关系。
(3)在处理图形规律题时通常有两种思路：一种是转化为数字问题,另一种是对图形进行适当的“分”“合”,抓住图形的特征展开思考。

答案： 解：
∵图①有1个三角形，记作$a_{1}=1$；图②有5个三角形，记作$a_{2}=5=1 + 4×1$；图③有9个三角形，记作$a_{3}=9=1 + 4×2$；…，
∴图$n$中三角形的个数为$a_{n}=1 + 4(n - 1)=4n - 3$，
∴$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}=1 + 5 + 9+\cdots+(4n - 3)=\frac{(1 + 4n - 3)n}{2}=2n^{2}-n$。
答：$2n^{2}-n$