《2025年教材完全解读七年级数学上册苏科版》

专题1 几何体的形成
点动成线、线动成面、面动成体。掌握一些常见的平面图形(如长方形、三角形等)绕某一条边旋转所形成的几何体,可快速地解决这类问题。
例1
如图5-1,长方形的长和宽分别是7 cm和3 cm,分别绕着它的长和宽所在的直线旋转一周,回答下列问题:
(1)如图5-1①,绕着长方形的长所在的直线旋转一周,所得到的是什么样的几何体?得到的几何体的体积是多少?(π取3.14)
(2)如图5-1②,绕着长方形的宽所在的直线旋转一周,所得到的是什么样的几何体?得到的几何体的体积是多少?(π取3.14)

图5-1
答 (1)绕长方形的长所在的直线旋转一周得到的是底面半径是3 cm,高是7 cm的圆柱。得到的圆柱的体积是$3.14×3^2×7= 197.82(cm^3)。$
(2)绕长方形的宽所在的直线旋转一周得到的是底面半径是7 cm,高是3 cm的圆柱,得到的圆柱的体积是$3.14×7^2×3= 461.58(cm^3)。$

答案：
(1)解：绕长方形的长所在的直线旋转一周得到的是圆柱。
底面半径为3cm，高为7cm。
体积：$3.14×3^{2}×7 = 3.14×9×7 = 197.82(cm^{3})$
(2)解：绕长方形的宽所在的直线旋转一周得到的是圆柱。
底面半径为7cm，高为3cm。
体积：$3.14×7^{2}×3 = 3.14×49×3 = 461.58(cm^{3})$

将某些立体图形按一定的方式展开,就会把该立体图形转化为平面图形。相应地,如果把平面图形按一定的方式折叠就能得到立体图形。通过展开与折叠实现了立体图形与平面图形的相互转化。
例2-1
如图5-2的几何体,将其表面展开得到的图形是( )。

图5-2
图5-3
解 由带图案的三个面一定有公共顶点→排除A,C由带三角形图案的两个面有重合的边且重合边不为三角形的边的特征→排除B→D正确


答 D
点拨 解这类题时,可以根据正方体的图案想象出平面展开图上相邻的两个面上图案的特征,经过比较,得出结论,也可以根据给出的答案,想象用它们折成的正方体的特征,用排除法来选。
例2-2 2023·青岛中考
一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,其展开图如图5-4①所示。在一张不透明的桌子上,按图5-4②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体,则该几何体能看得到的面上数字之和最小是( )。
图5-4


A.31
B.32
C.33
D.34
解 由正方体平面展开图的“相间、Z端是对面”可知,“1”与“3”,“2”与“4”,“5”与“6”是对面,因此要使图②中几何体能看得到的面上数字之和最小,最右边的那个正方体所能看到的4个面的数字为1,2,3,5,最上边的那个正方体所能看到的5个面的数字为1,2,3,4,5,左下角的那个正方体所能看到的3个面的数字为1,2,3,所以该几何体能看得到的面上数字之和最小为11+15+6= 32。
答 B

答案： 例2-1
解：由带图案的三个面一定有公共顶点，排除A，C；由带三角形图案的两个面有重合的边且重合边不为三角形的边的特征，排除B，故D正确。
答：D
例2-2
解：由正方体平面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“1”与“3”，“2”与“4”，“5”与“6”是对面。要使图②中几何体能看到的面上数字之和最小，最右边正方体看到的4个面数字为1,2,3,5（和为11），最上边正方体看到的5个面数字为1,2,3,4,5（和为15），左下角正方体看到的3个面数字为1,2,3（和为6）。则该几何体能看到的面上数字之和最小为11+15+6=32。
答：B