《2025年教材完全解读七年级数学上册苏科版》

例4
如图6-2-11,$\angle AOB:\angle BOC= 3:2$,OD平分$\angle BOC$,OE平分$\angle AOC$,且$\angle DOE= 42^{\circ }$,求$\angle BOE$的度数。

思路引导 从$\angle AOB:\angle BOC= 3:2$入手,设$\angle AOB= 3x,\angle BOC= 2x$,根据$\angle DOE= 42^{\circ }$列方程求解。
答 依题意,设$\angle AOB= 3x,\angle BOC= 2x$,则$\angle AOC= \angle AOB+\angle BOC= 5x$。
因为OE是$\angle AOC$的平分线,OD是$\angle BOC$的平分线,
所以$\angle COE= \frac {1}{2}\angle AOC= \frac {5}{2}x,\angle COD= \frac {1}{2}\angle BOC= x$,
所以$\angle DOE= \angle COE-\angle COD= \frac {5}{2}x-x= \frac {3}{2}x$。
又因为$\angle DOE= 42^{\circ }$,所以$\frac {3}{2}x= 42^{\circ }$,解得$x= 28^{\circ }$。
所以$\angle BOE= \angle COE-\angle BOC= \frac {5}{2}x-2x= \frac {1}{2}x= 14^{\circ }$。

答案： 解：设$\angle AOB = 3x$，$\angle BOC = 2x$，则$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC = 5x$。
因为OE平分$\angle AOC$，OD平分$\angle BOC$，
所以$\angle COE=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{5}{2}x$，$\angle COD=\frac{1}{2}\angle BOC=x$。
所以$\angle DOE=\angle COE - \angle COD=\frac{5}{2}x - x=\frac{3}{2}x$。
又因为$\angle DOE = 42^{\circ}$，所以$\frac{3}{2}x=42^{\circ}$，解得$x = 28^{\circ}$。
所以$\angle BOE=\angle COE-\angle BOC=\frac{5}{2}x - 2x=\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}×28^{\circ}=14^{\circ}$。
答：$\angle BOE$的度数为$14^{\circ}$。

例5
(1)如图6-2-12,已知$\angle AOB$是直角,$\angle BOC= 30^{\circ }$,OM平分$\angle AOC$,ON平分$\angle BOC$,求$\angle MON$的度数;
(2)如果(1)中$\angle AOB= \alpha $($\alpha $为锐角),其他条件不变,求$\angle MON$的度数;
(3)如果(1)中$\angle BOC= \beta $($\beta $为锐角),其他条件不变,求$\angle MON$的度数;
(4)你从(1)(2)(3)的结果中能发现什么规律?
思路引导 利用角平分线的定义及角的和、差关系来解答。
答 (1)因为OM,ON分别平分$\angle AOC,\angle BOC$,

所以$\angle COM= \frac {1}{2}\angle AOC,\angle CON= \frac {1}{2}\angle BOC$,
所以$\angle MON= \angle COM-\angle CON$
$=\frac {1}{2}\angle AOC-\frac {1}{2}\angle BOC$
$=\frac {1}{2}× (90^{\circ }+30^{\circ })-\frac {1}{2}× 30^{\circ }$
$=45^{\circ }$。
(2)$\angle MON= \angle COM-\angle CON$
$=\frac {1}{2}\angle AOC-\frac {1}{2}\angle BOC$
$=\frac {1}{2}(\alpha +30^{\circ })-\frac {1}{2}× 30^{\circ }$
$=\frac {1}{2}\alpha $。
(3)$\angle MON= \angle COM-\angle CON$
$=\frac {1}{2}\angle AOC-\frac {1}{2}\angle BOC$
$=\frac {1}{2}(90^{\circ }+\beta )-\frac {1}{2}\beta $
$=45^{\circ }$。
(4)$\angle MON的度数等于\angle AOB$度数的一半,而与$\angle BOC$的度数无关。
技巧点拨
求角度的技巧
当题中某个角不能(或不易)直接求出时,可考虑利用角的和或差间接求解。例4求$\angle BOE$的度数,可通过求$\angle COE与\angle BOC$的度数的差得到。
变式2 见答案P220
如图6-2-14,已知$\angle BOC= 2\angle AOC$,OD平分$\angle AOB$,且$\angle AOC= 40^{\circ }$,求$\angle COD$的度数。

技巧点拨
例5在探究几何问题($\angle MON$的大小规律)时,运用角平分线的定义及角的和、差关系直接探究较复杂,而将角的和、差关系转化为代数中的整式运算去解决则变得很简单,我们把这种解题思想称为“代数思想”。
变式3 见答案P220
如图6-2-15,已知射线OC在$\angle AOB$的内部,OM和ON分别平分$\angle AOC和\angle BOC$。

(1)若$\angle AOC= 50^{\circ }$,$\angle BOC= 30^{\circ }$,求$\angle MON$的度数;
(2)探究$\angle MON与\angle AOB$的数量关系。

答案：
(1)解：因为OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，
所以∠COM=1/2∠AOC，∠CON=1/2∠BOC，
所以∠MON=∠COM - ∠CON
=1/2∠AOC - 1/2∠BOC
=1/2×(90°+30°)-1/2×30°
=45°。
(2)解：∠MON=∠COM - ∠CON
=1/2∠AOC - 1/2∠BOC
=1/2(α+30°)-1/2×30°
=1/2α。
(3)解：∠MON=∠COM - ∠CON
=1/2∠AOC - 1/2∠BOC
=1/2(90°+β)-1/2β
=45°。
(4)∠MON的度数等于∠AOB度数的一半，而与∠BOC的度数无关。