《2025年教材完全解读七年级数学上册苏科版》

专题4 整式的化简求值
整式的化简求值通常是先对整式进行化简,再代入求值。整式的化简求值有以下三类：(1)化简后直接代入求值；(2)化简后整体代入求值；(3)先通过隐含条件将字母的值求出来,再代入求值。
1 直接代入求值

答案： 答案略

例4-1
先化简,再求值：$-2(mn-3m^{2})-[m^{2}-5(mn-m^{2})+2mn]$,其中$m= 2,n= -3$。
答 $-2(mn-3m^{2})-[m^{2}-5(mn-m^{2})+2mn]$
$=-2mn+6m^{2}-(m^{2}-5mn+5m^{2}+2mn)$
$=-2mn+6m^{2}-m^{2}+5mn-5m^{2}-2mn$
$=mn$。
当$m= 2,n= -3$时,原式$=2×(-3)= -6$。

答案： 解：$-2(mn-3m^{2})-[m^{2}-5(mn-m^{2})+2mn]$
$=-2mn+6m^{2}-(m^{2}-5mn+5m^{2}+2mn)$
$=-2mn+6m^{2}-m^{2}+5mn-5m^{2}-2mn$
$=mn$。
当$m=2$，$n=-3$时，原式$=2×(-3)=-6$。

例4-2
若$a^{2}+ab= 20$,$ab-b^{2}= -13$,求$a^{2}+b^{2}及a^{2}+2ab-b^{2}$的值。
解 把$a^{2}+ab$,$ab-b^{2}$分别看成一个整体,通过运算代入求值。
答 因为$(a^{2}+ab)-(ab-b^{2})= a^{2}+b^{2}$,
所以$a^{2}+b^{2}= 20-(-13)= 33$。
因为$(a^{2}+ab)+(ab-b^{2})= a^{2}+2ab-b^{2}$,
所以$a^{2}+2ab-b^{2}= 20+(-13)= 7$。
点拨 通过对已知整式相加或相减,得出待求的多项式,从而求出多项式的值。

答案： 【解析】：
本题主要考查整式的加减运算以及整体代入法求值。
首先，我们有两个已知的等式：
$a^{2} + ab = 20$
$ab - b^{2} = -13$
我们需要求的是两个表达式的值：$a^{2} + b^{2}$ 和 $a^{2} + 2ab - b^{2}$。
对于 $a^{2} + b^{2}$，我们可以通过第一个等式减去第二个等式得到：
$(a^{2} + ab) - (ab - b^{2}) = a^{2} + b^{2}$
代入已知的等式值，得到：
$20 - (-13) = 33$
所以，$a^{2} + b^{2} = 33$。
对于 $a^{2} + 2ab - b^{2}$，我们可以通过第一个等式加上第二个等式得到：
$(a^{2} + ab) + (ab - b^{2}) = a^{2} + 2ab - b^{2}$
代入已知的等式值，得到：
$20 + (-13) = 7$
所以，$a^{2} + 2ab - b^{2} = 7$。
【答案】：
$a^{2} + b^{2} = 33$
$a^{2} + 2ab - b^{2} = 7$

例4-3
已知$(a-2)^{2}+|b+1|= 0$,求$3a^{2}b-[2a^{2}b-(2ab-a^{2}b)-4a^{2}]-ab$的值。
答 因为$(a-2)^{2}\geq0$,$|b+1|\geq0$,
且$(a-2)^{2}+|b+1|= 0$,
所以$a-2= 0$,$b+1= 0$,解得$a= 2$,$b= -1$,
所以$3a^{2}b-[2a^{2}b-(2ab-a^{2}b)-4a^{2}]-ab$
$=3a^{2}b-(2a^{2}b-2ab+a^{2}b-4a^{2})-ab$
$=3a^{2}b-2a^{2}b+2ab-a^{2}b+4a^{2}-ab$
$=4a^{2}+ab$
$=4×2^{2}+2×(-1)$
$=14$。

答案： 解：因为$(a - 2)^2 \geq 0$，$|b + 1| \geq 0$，且$(a - 2)^2 + |b + 1| = 0$，所以$a - 2 = 0$，$b + 1 = 0$，解得$a = 2$，$b = -1$。
$3a^2b - [2a^2b - (2ab - a^2b) - 4a^2] - ab$
$= 3a^2b - (2a^2b - 2ab + a^2b - 4a^2) - ab$
$= 3a^2b - 2a^2b + 2ab - a^2b + 4a^2 - ab$
$= 4a^2 + ab$
当$a = 2$，$b = -1$时，$4a^2 + ab = 4×2^2 + 2×(-1) = 16 - 2 = 14$。
故原式的值为$14$。

专题5 整式的加减在实际生活中的应用
利用整式的加减运算解决实际问题,其关键是先根据实际问题建立关于整式加减的模型(即找出题目中的数量关系,根据数量关系列出整式),再进行化简,最后得出结论,从而达到解决实际问题的目的。
例5
某工厂第一季度的电费为$m$元,水费比电费的2倍少40元,第二季度电费节约了20%,水费多支出了5%,则该厂第二季度电费和水费比第一季度共节约了多少元？
解 根据题意,列表分析如下：
|名称|电费/元|水费/元|
|第一季度|$m$|$2m-40$|
|第二季度|$(1-20\%)m$|$(1+5\%)(2m-40)$|
用第一季度电费与水费的和减去第二季度电费与水费的和,再根据整式的加减运算法则,去括号、合并同类项即可。
答 根据题意,得$[m+(2m-40)]-[(1-20\%)m+(1+5\%)(2m-40)]= m+2m-40-0.8m-1.05(2m-40)= m+2m-40-0.8m-2.1m+42= (0.1m+2)$(元)。
故该厂第二季度电费和水费比第一季度共节约了$(0.1m+2)$元。

答案： 解：根据题意，第一季度电费为$m$元，水费为$(2m - 40)$元；第二季度电费为$(1 - 20\%)m = 0.8m$元，水费为$(1 + 5\%)(2m - 40) = 1.05(2m - 40)$元。
第一季度水电费总和为：$m + (2m - 40) = 3m - 40$
第二季度水电费总和为：$0.8m + 1.05(2m - 40) = 0.8m + 2.1m - 42 = 2.9m - 42$
第二季度比第一季度节约的费用为：$(3m - 40) - (2.9m - 42) = 3m - 40 - 2.9m + 42 = 0.1m + 2$
答：该厂第二季度电费和水费比第一季度共节约了$(0.1m + 2)$元。