《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

10. 新考向 数学文化 中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“镒套吞容”之“方田圆池结角池图”。“方田一段，一角圆池占之。”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”，如图所示。
问题：此图中，正方形一条对角线 AB 与⊙O 相交于点 M，N(点 N 在点 M 的右上方)。若 AB 的长度为 10 丈，⊙O 的半径为 2 丈，则 BN 的长度为$(8-2\sqrt{2})$丈。

答案： $10.(8-2\sqrt{2})$

11. (2024·南宁三十七中月考)如图，在 Rt△AOB 中，OA = OB = 4√2，⊙O 的半径为 2，P 是边 AB 上的动点，过点 P 作⊙O 的一条切线 PQ(Q 为切点)，则线段 PQ 长的最小值为$2\sqrt{3}$。

答案： $11.2\sqrt{3}$

12. (2023·广西)如图，PO 平分∠APD，PA 与⊙O 相切于点 A，延长 AO 交 PD 于点 C，过点 O 作 OB⊥PD，垂足为 B。
(1)求证：PB 是⊙O 的切线。
(2)若⊙O 的半径为 4，OC = 5，求 PA 的长。

答案： 12.解：
(1)证明：
∵PA与⊙O相切于点A，且OA是⊙O的半径，
∴PA⊥OA.
∵PO平分∠APD,OB⊥PD,OA⊥PA，
∴OB=OA.
∴OB是⊙O的半径.又
∵PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线.
(2)
∵OA=OB=4,OC= 5，
∴AC=OA+OC=4+5=9.
∵∠OBC=90°，
∴$BC=\sqrt{OC^{2}-OB^{2}} =\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3. $
∵PA,PB是⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°.
∵PO平分∠APD，
∴∠APO=∠BPO.
∵PO=PO，
∴△APO≌△BPO (AAS).
∴PA=PB.
∵∠A=90°，
∴$PA^{2}+AC^{2}=PC^{2}. $
∴$PA^{2}+9^{2}= (PA+3)^{2}，$解得PA=12.

13. 新考向 真实情境 (2024·南宁新民中学模拟)停车楔(如图 1)是一种固定汽车轮胎的装置，图 2 是轮胎和停车楔的示意图。当汽车停于水平地面上时，将停车楔 B - $\overset{\frown}{AC}$置于轮胎⊙O 后方即可防止车辆倒退，此时$\overset{\frown}{AC}$紧贴轮胎，边 AB 与地面重合且与轮胎⊙O 相切于点 A。为了更好地研究这个停车楔与轮胎⊙O 的关系，小南在示意图 2 上，连接 CO 并延长交⊙O 于点 D，连接 AD。已知 AD//BC。
(1)求证：∠D + ∠B = 90°。
(2)小南通过查阅资料了解到，此停车楔的高度(即点 C 到直线 AB 的距离)为 16.5 cm，支撑边 BC 与底边 AB 的夹角∠B = 60°，求轮胎的直径。
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答案： 13.解：
(1)证明：连接OA.
∵AD//BC，
∴∠B+∠DAB=180°.
∴∠B+ ∠OAB+∠OAD=180°.
∵AB与⊙O相切于点A，
∴∠OAB=90°.
∴∠B+∠OAD=90°.
∵OA=OD，
∴∠D=∠OAD.
∴∠B+∠D=90°.
(2)连接AC,过点C作CH⊥AB，垂足为H.
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=90°.
∵AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC=90°.
∵∠B=60°，
∴∠CAB=90°-∠B=30°.在Rt△ACH中,CH=16.5 cm，
∴AC=2CH =33 cm.
∵∠D+∠B=90°，
∴∠D=90°-∠B=30°.在Rt△ACD中,CD=2AC=66 cm，
∴轮胎的直径为66 cm.