《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

1. 如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数$y = -\frac{2}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 2$的图象与$x$轴交于$A(-3,0)$，$B(1,0)$两点，与$y$轴交于点$C$。
(1) 点$P$是直线$AC$上方的抛物线上一动点，过点$P$作$PM\perp x$轴于点$M$，交$AC$于点$Q$。设点$M$的坐标为$(m,0)$。
① 直线$AC$的解析式为$y=\frac{2}{3}x + 2$。
② 点$P$的坐标为$(m,-\frac{2}{3}m^{2}-\frac{4}{3}m + 2)$，点$Q$的坐标为$(m,\frac{2}{3}m + 2)$，$PQ$的长可表示为$-\frac{2}{3}m^{2}-2m$。(用含$m$的代数式表示)
③ 求$PQ$的最大值。

(2) 在(1)的条件下，是否存在点$P$，使$\triangle ACP$的面积最大？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。

答案： 1.解:
(1)①$y=\frac{2}{3}x + 2$ ②$(m,-\frac{2}{3}m^{2}-\frac{4}{3}m + 2)\ (m,\frac{2}{3}m + 2)$ ，$-\frac{2}{3}m^{2}-2m$ ③$PQ=(-\frac{2}{3}m^{2}-\frac{4}{3}m + 2)-(\frac{2}{3}m + 2)=-\frac{2}{3}m^{2}-2m=-\frac{2}{3}(m+\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{2}$，$\therefore$当$m = -\frac{3}{2}$时，$PQ$取得最大值，最大值为$\frac{3}{2}$。
(2)存在。由
(1)知，点$P$的坐标为$(m,-\frac{2}{3}m^{2}-\frac{4}{3}m + 2)$。
方法一：$\because PQ=(-\frac{2}{3}m^{2}-\frac{4}{3}m + 2)-(\frac{2}{3}m + 2)=-\frac{2}{3}m^{2}-2m$，$\therefore S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}PQ\cdot(x_C - x_A)=-(m+\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}$。$\because -1＜0$，开口向下，$\therefore$当$m = -\frac{3}{2}$时，$S_{\triangle ACP}$有最大值。此时点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{5}{2})$。
方法二：连接$PO$，过点$P$作$PN\perp y$轴于点$N$。则$PM=-\frac{2}{3}m^{2}-\frac{4}{3}m + 2$，$PN = -m$，$AO = 3$，$OC = 2$。$\therefore S_{\triangle ACP}=S_{\triangle PAO}+S_{\triangle PCO}-S_{\triangle ACO}=\frac{1}{2}AO\cdot PM+\frac{1}{2}CO\cdot PN-\frac{1}{2}AO\cdot CO=-m^{2}-3m$。$\because -1＜0$，开口向下，$\therefore$当$m=\frac{-3}{2×(-1)}=-\frac{3}{2}$时，$S_{\triangle ACP}$有最大值。此时点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{5}{2})$。

2. 已知抛物线$y = -x^2 + bx + c$与$x$轴交于点$A(-1,0)$，$B(m,0)$，与$y$轴交于点$C(0,5)$。
(1) $b =$4，$c =$5，$m =$5。
(2) 如图，点$D$是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点$D$在第一象限内，过点$D$分别作$x$轴的平行线交抛物线于点$E$，作$y$轴的平行线交$x$轴于点$G$，过点$E$作$EF\perp x$轴，垂足为$F$。当四边形$DEFG$的周长最大时，求点$D$的坐标。

答案： 2.解:
(1)4 5 5
(2)$\because y=-x^{2}+4x + 5=-(x - 2)^{2}+9$，$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = 2$。设$D(n,-n^{2}+4n + 5)$。$\because DE// x$轴，$\therefore E(4 - n,-n^{2}+4n + 5)$。由题意知，四边形$DEFG$是矩形，$\therefore$四边形$DEFG$的周长为$2(-n^{2}+4n + 5)+2(n - 4 + n)=-2n^{2}+12n + 2=-2(n - 3)^{2}+20$。$\because -2＜0$，$\therefore$当$n = 3$时，四边形$DEFG$的周长最大。$\therefore$当四边形$DEFG$的周长最大时，点$D$的坐标为$(3,8)$。