《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

12. $P$是非圆上一点，若点$P$到$\odot O$上的点的最小距离是$4\mathrm{cm}$，最大距离是$9\mathrm{cm}$，则$\odot O$的半径是6.5cm或2.5cm.

答案： 12.6.5cm或2.5cm

13. 已知$\odot O$的半径是一元二次方程$x^{2}-3x - 4 = 0$的一个根，点$A$与圆心$O$的距离为 6，则下列说法正确在是(A)

A.点$A$在$\odot O$外
B.点$A$在$\odot O$上
C.点$A$在$\odot O$内
D.无法判断

答案： 13.A

14. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 2$，$AD = 1$，以顶点$D$为圆心作半径为$r$的圆. 若要求另外三个顶点$A$，$B$，$C$中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则$r$的取值范围是1＜r＜\sqrt{5}.

答案： $14.1＜r＜\sqrt{5}$

$15. $如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 60^{\circ}，$$BC = 5\mathrm{cm}. $能够将$\triangle ABC$完全覆盖的最小圆形纸片的直径是　　$\frac{10\sqrt{3}}{3}$　　$\mathrm{cm}.$　　

答案： $15.\frac{10\sqrt{3}}{3}$

【变式】能完全覆盖一个边长为 1 的正方形的最小圆的直径是$\sqrt{2}$，能完全覆盖长、宽分别是 3 和 4 的矩形的最小圆的直径是5.

答案： 【变式$】\sqrt{2} 5$

16. 新考向 真实情境 “以铜为镜，可以正衣冠.”铜镜是我国古代人民勤劳和智慧的结晶. 如图所示的是一个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手段将其复原，使得“破镜重圆”. 文物修复专家量得铜镜残片上最大的弦$AB$的长为$16\mathrm{cm}$，铜镜上的点到弦$AB$的最大距离为$6\mathrm{cm}$.
(1)请用尺规作图的方法，帮助文物修复专家找出铜镜所在圆的圆心（简要说明作图思路，不写具体作法，保留作图痕迹）.
(2)请帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径.

答案： 16.解：
(1)图略.步骤：假设残片左、右端点分别为A，B，连接AB，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点C，连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，EF交MN于点O.
(2)连接OA，设AB与⊙C交于点D.由题意，得AB=16cm，CD=6cm，则AD=DB=8cm.设⊙O的半径为rcm.在Rt△AOD中，$8^{2}+(r - 6)^{2}=r^{2}，$解得$r=\frac{25}{3}.\therefore⊙O$的半径为$\frac{25}{3}cm.$

17. 如图，在$\triangle ABD$中，$AE$，$BE$分别平分$\angle BAD$和$\angle ABD$，延长$AE$交$\triangle ABD$的外接圆于点$C$，连接$CB$，$CD$，$ED$.
【尝试运用】
(1)若$\angle CBD = 40^{\circ}$，求$\angle BAD$的度数.
【深度运用】
(2)求证：点$C$是$\triangle BDE$的外心.

答案： 17.解：
(1)
∵AE平分∠BAD，$\therefore∠BAD=2∠CAD.$
∵∠CAD=∠CBD=40°，$\therefore∠BAD=80°.(2)$证明：
∵AE，BE分别平分∠BAD和∠ABD，$\therefore∠BAC=∠DAC，$$∠ABE=∠DBE.\therefore BC=CD.\therefore BC=CD.$
∵∠CBD=∠CAD，$\therefore∠CBD=∠BAC.\therefore∠CBE=∠CBD+∠DBE=∠BAC+∠ABE=∠BEC.\therefore BC=EC.\therefore BC=EC=DC.\therefore$点B，E，D在以点C为圆心的同一圆上$.\therefore$点C是△BDE的外心.