《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

新考向 阅读理解 阅读下列材料，完成相应学习任务：
四点共圆的条件
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆. 下面是小明运用反证法证明上述命题的过程：
已知：在四边形 $ABCD$ 中，$\angle B+\angle D = 180^{\circ}$.
求证：过点 $A$，$B$，$C$，$D$ 可作一个圆.
证明：假设过 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点不能作一个圆. 过 $A$，$B$，$C$ 三点作圆. 如图 1，若点 $D$ 在圆外，设 $AD$ 与圆相交于点 $E$，连接 $CE$，则. 又已知 $\angle B+\angle D = 180^{\circ}$，所以 $\angle AEC=\angle D$. 因为 $\angle AEC$ 是 $\triangle CED$ 的外角，所以 $\angle AEC＞\angle D$，出现矛盾，故假设不成立. 因此点 $D$ 在过 $A$，$B$，$C$ 三点的圆上.
如图 2，若点 $D$ 在圆内……(请同学们补充完成省略的部分证明过程)
因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆.

学习任务：
(1) 材料中划线部分的结论是∠B + ∠AEC = 180°，依据是圆的内接四边形对角互补.
(2) 请将图 2 的证明过程补全.
(3) 如图 3，在四边形 $ABCD$ 中，$\angle ABC=\angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle CAD = 16^{\circ}$，$AD = BD$，求 $\angle ADB$ 的度数.

答案：

(1)∠B + ∠AEC = 180° 圆的内接四边形对角互补
(2) 证明：延长AD与圆相交于点E，连接CE，则∠B + ∠E = 180°。
∵ ∠B + ∠ADC = 180°，
∴ ∠E = ∠ADC。
∵ ∠ADC是△CDE的外角，
∴ ∠ADC ＞ ∠E，出现矛盾，故假设不成立。
∴ 点D在过A，B，C三点的圆上。
(3)
∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°，
∴ 过四边形ABCD的四个顶点能作一个圆，如图。
∴ ∠CBD = ∠CAD = 16°。
∴ ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 90° - 16° = 74°。又
∵ AD = BD，
∴ ∠BAD = ∠ABD = 74°。
∴ ∠ADB = 180° - ∠BAD - ∠ABD = 180° - 74° - 74° = 32°。