《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

1. (1) 如图 1，已知△ABC 和△ECD 是等边三角形，点 B，C，D 在同一条直线上，连接 BE，交边 AC 于点 G，连接 AD，交 BE 于点 F. 易证：△ACD≌△BCE. 若将△ECD 绕点 C 顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜60°）（如图 2），此时△ACD≌△BCE 还成立吗？请说明理由.
(2) 在△ABC 和△ECD 中，BC = AC，CE = CD，∠ACB = ∠DCE，将△ECD 绕点 C 旋转，当旋转到图 3 的位置时.
① 此时△ACD≌△BCE 还成立吗？请说明理由.
② 延长 BE 交 AD 于点 F，AC 交 BF 于点 O，则∠BFA 与∠ACB 之间有什么数量关系？请说明理由.
(3) 如图 4，△ABC 和△ECD 中，BC = AC，CE = CD，∠ACB = ∠DCE = 90°，将△ECD 绕点 C 旋转，使得点 A 落在 DE 的延长线上，连接 BE，此时△ACD≌△BCE 还成立吗？若 CD = CE = 2√{2}，AE = 2，求线段 AB 的长.

答案： 1.解：
(1)成立.理由如下：
∵△ABC和△ECD是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠ECD.
∴∠BCE=∠ACD.在△ACD和△BCE中，$\begin{cases}AC = BC, \\\angle ACD = \angle BCE, \\CD = CE.\end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS).
(2)①△ACD≌△BCE成立.理由如下：
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD.在△ACD和△BCE中，$\begin{cases}AC = BC, \\\angle ACD = \angle BCE, \\CD = CE.\end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS).
②∠BFA=∠ACB.理由如下：由①知，△ACD≌△BCE.
∴∠DAC=∠EBC.又
∵∠AOF=∠COB，
∴∠BFA=∠ACB.
(3)△ACD≌△BCE成立.理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠ACD.在△ACD和△BCE中，$\begin{cases}AC = BC, \\\angle ACD = \angle BCE, \\CD = CE.\end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴
AD=BE，∠CBE=∠CAD.设AC，BE交于点O.
∴∠BOC=∠AOE.
∴∠BEA=∠BCA=90°.
∵CD=CE=$2\sqrt{2}$，
∴DE=$\sqrt{CD^{2}+CE^{2}}$=4.
∴BE=AD=AE+DE=2+4=6.
∴在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{BE^{2}+AE^{2}}$=$\sqrt{6^{2}+2^{2}}$=$2\sqrt{10}$.
answer:1.解：
(1)成立.理由如下：
∵△ABC和△ECD是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠ECD.
∴∠BCE=∠ACD.在△ACD和△BCE中，$\begin{cases}AC = BC, \\\angle ACD = \angle BCE, \\CD = CE.\end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS).
(2)①△ACD≌△BCE成立.理由如下：
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD.在△ACD和△BCE中，$\begin{cases}AC = BC, \\\angle ACD = \angle BCE, \\CD = CE.\end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS).
②∠BFA=∠ACB.理由如下：由①知，△ACD≌△BCE.
∴∠DAC=∠EBC.又
∵∠AOF=∠COB，
∴∠BFA=∠ACB.
(3)△ACD≌△BCE成立.理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠ACD.在△ACD和△BCE中，$\begin{cases}AC = BC, \\\angle ACD = \angle BCE, \\CD = CE.\end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴
AD=BE，∠CBE=∠CAD.设AC，BE交于点O.
∴∠BOC=∠AOE.
∴∠BEA=∠BCA=90°.
∵CD=CE=$2\sqrt{2}$，
∴DE=$\sqrt{CD^{2}+CE^{2}}$=4.
∴BE=AD=AE+DE=2+4=6.
∴在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{BE^{2}+AE^{2}}$=$\sqrt{6^{2}+2^{2}}$=$2\sqrt{10}$.

2. (2024·河池宜州区期中) 正方形 ABCD 和正方形 AEFG 的边长分别为 2 和 2√{2}，点 B 在边 AG 上，点 D 在线段 EA 的延长线上，连接 BE，DG.
(1) 如图 1，求证：DG⊥BE.
(2) 如图 2，将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转，当点 B 恰好落在线段 DG 上时，线段 BE 的长为$\sqrt{2}+\sqrt{6}$.

答案： 2.解：
(1)证明：延长EB交GD于点H.
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AD=AB，AG=AE，∠DAG=∠BAE=90°.
∴△ADG≌△ABE(SAS).
∴∠AGD=∠AEB.
∵∠ADG+∠AGD=90°，
∴∠ADG+∠AEB=90°.
∴DG⊥BE.
(2)$\sqrt2$+$\sqrt6$