《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

$12. $如图，$AB$与$CD$相交于点$E，$点$F$在线段$AD$上，且$BD // EF // AC。$若$DE = 5，$$DF = 3，$$CE = AD，$则$\frac{EF}{BD}$的值为　　$\frac{3}{5}$　　。　　

答案： $12.\frac{3}{5}$

13. 如图，$D$是$\triangle ABC$边$BC$上一点，连接$AD$，过$AD$上的点$E$作$EF // BD$，交$AB$于点$F$，过点$F$作$FG // AC$，交$BC$于点$G$，已知$\frac{AE}{ED} = \frac{3}{2}$，$BG = 4$。
(1) 求$CG$的长。
(2) 若$CD = 2$，在上述条件和结论下，则$EF$的长为\frac{24}{5}。

答案： 13. 解：
(1)
∵EF // BD,
∴$\frac{AF}{BF} = \frac{AE}{ED} = \frac{3}{2}. $
∵FG // AC,
∴$\frac{BG}{CG} = \frac{BF}{AF} = \frac{2}{3}.$
∵BG = 4,
∴$CG = 6.(2)\frac{24}{5}$

$14. $新考向$ $阅读理解请阅读以下材料，并完成相应的问题。　　
$【$问题提出$】$　　

$(1) $请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分。　　
$【$尝试应用$】$　　
$(2) $如图$ 3，$已知在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 3，$$BC = 4，$$\angle ABC = 90^{\circ}，$$AD$平分$\angle BAC，$则$BD$的长为　　$\frac{3}{2}$　　。　　

答案： 14. 解：
(1) 证明：
∵CE // DA,
∴$\frac{AB}{AE} = \frac{BD}{CD},∠2 = ∠ACE,∠1 = ∠E. $
∵∠1 = ∠2,
∴∠ACE = ∠E.
∴AE = AC.
∴$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}.(2)\frac{3}{2}$

【例】如图，$AD$是$\triangle ABC$的中线.
(1)若$E$为$AD$的中点，射线$CE$交$AB$于点$F$，求$\frac{AF}{BF}$的值.
(2)若$E$为$AD$上的一点，且$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{k}$，射线$CE$交$AB$于点$F$，求$\frac{AF}{BF}$的值.
解：过点$D$作$DG // CF$，交$AB$于点$G$.
$\because AD$是$\triangle ABC$的中线，
$\therefore BD = CD$.
$\because DG // CF$，
$\therefore \frac{BG}{GF}=$$\frac{BD}{CD}$$ = 1$，即$BG = GF$.
(1)若$E$为$AD$的中点，则$AE = ED$.
$\because DG // CF$，
$\therefore \frac{AF}{GF}=$$\frac{AE}{ED}$$ = 1$，即$AF = GF$.
$\therefore \frac{AF}{BF}=\frac{AF}{BG + GF}=\frac{AF}{2GF}=\frac{AF}{2AF}=$$\frac{1}{2}$.
(2)若$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{k}$，$\because DG // CF$，
$\therefore \frac{AF}{GF}=$$\frac{AE}{ED}$$=\frac{1}{k}$，即$GF =$$k$$AF$.
$\therefore \frac{AF}{BF}=\frac{AF}{BG + GF}=\frac{AF}{2GF}=\frac{AF}{2kAF}=$$\frac{1}{2k}$.

答案： 【例】$\frac{BD}{CD}$ $\frac{AE}{ED}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{AE}{ED}$ $k$ $\frac{1}{2k}$

1. 如图，$CD = 3BD$，$AF = FD$，则$AE:AC=$$1:5$.

答案： 1.$1:5$

2. 如图，$BE$是$\triangle ABC$的中线，点$F$在$BE$上，延长$AF$交$BC$于点$D$.若$BF = 3EF$，则$\frac{BD}{DC}=$$\frac{3}{2}$.

答案： 2.$\frac{3}{2}$