《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

12. 如图，$\odot O$的半径是$2$，$AB$，$MN$是$\odot O$中互相垂直的直径，点$P$在$\overset{\frown}{AM}$上，且不与点$A$，$M$重合，过点$P$作$AB$，$MN$的垂线，垂足分别是$D$，$C$。当点$P$在$\overset{\frown}{AM}$上移动时，矩形$PCOD$的形状、大小随之变化，则$PC^{2} + PD^{2}$的值(C)

A.逐渐变大
B.逐渐变小
C.不变
D.不能确定

答案： 12.C

13. 如图，将两块量角器的零刻度线对齐，且小量角器的中心$O_{2}$恰好在大量角器的圆周上。设它们圆周的交点为$P$，且点$P$在小量角器上对应的刻度为$75^{\circ}$，则点$P$在大量角器上对应的刻度为30°。

答案： 13.30°

$14. $如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}，$$AB = 10。$若以点$C$为圆心，$CB$长为半径的圆恰好经过$AB$的中点$D，$则$AC =$　　$5\sqrt{3}$　　。　　

答案： $14.5\sqrt{3}$

15. （教材九上 P81 练习 T3 变式）如图，$BD$，$CE$分别是$\triangle ABC$的高，$M$为$BC$的中点。求证：点$B$，$C$，$D$，$E$在以点$M$为圆心的同一个圆上。

答案： 15.证明：连接 ME,MD.
∵BD,CE 分别是△ABC 的高，
∴∠BEC=∠BDC=90°.又
∵M 为 BC 的中点，
∴$ME=MD=MC=MB=\frac{1}{2}BC.$
∴点 B,C,D,E 在以点 M 为圆心的同一个圆上.

16. 如图，已知正方形$ABCD$在半圆$O$的内部，顶点$A$，$B$在圆上，$C$，$D$在直径上。
(1)求证：$OD = OC$。
(2)在正方形$ABCD$右侧再作一个小正方形$ECGF$，点$F$在圆周上。若正方形$ABCD$的边长为$4$，则正方形$ECGF$的边长为2。

答案： 16.解：
(1)证明：连接 OA,OB.则 OA=OB.
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AD=BC,∠ADO=∠BCO=90°.
∴$\sqrt{OA^{2}-AD^{2}}=\sqrt{OB^{2}-BC^{2}}.$
∴OD=OC.
(2)2

1. 如图，点 $ A $，$ B $，$ C $ 在 $ \odot O $ 上，$ \angle A = 36^{\circ} $，$ \angle C = 28^{\circ} $，则 $ \angle B = $64°。

答案： 1. 64°

2. 如图，$ \odot O $ 的直径 $ AB $ 与弦 $ CD $ 的延长线交于点 $ E $。若 $ DE = OB $，$ \angle AOC = 84^{\circ} $，则 $ \angle E = $28°。

答案： 2. 28°

3. 如图，点 $ D $，$ E $ 分别在 $ \triangle ABC $ 的边 $ BC $，$ AB $ 上，过 $ A $，$ C $，$ D $ 三点的圆的圆心为点 $ E $，以点 $ D $ 为圆心的圆过点 $ B $，$ E $。如果 $ \angle A = 57^{\circ} $，那么 $ \angle ABC = $22°。

答案： 3. 22°