《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

7. 下列方程中，以 $x=\frac{-5\pm\sqrt{25 + 4c}}{2}$ 为根的是(B)

A.$x^{2}-5x - c = 0$
B.$x^{2}+5x - c = 0$
C.$x^{2}-5x + 4c = 0$
D.$x^{2}+5x + c = 0$

答案： 7.B

8. 一元二次方程 $x^{2}+3x - 1 = 0$ 的较大的根为$\frac {-3+\sqrt {13}}{2}$.

答案： 8.$\frac {-3+\sqrt {13}}{2}$

9. 【数形结合思想】如图，点 $A$ 在数轴的负半轴上，点 $B$ 在数轴的正半轴上，且点 $A$ 对应的数是 $2x - 1$，点 $B$ 对应的数是 $x^{2}+x$.已知 $AB = 5$，则 $x$ 的值为$\frac {1-\sqrt {17}}{2}$.

答案： 9.$\frac {1-\sqrt {17}}{2}$

10. 用公式法解下列方程：
(1) $x(x + 2\sqrt{3})+2 = 0$.
(2) $x^{2}+7x - 3 = x(3 - x)$.

答案： 10.
(1)原方程可化为$x^{2}+2\sqrt {3}x+2=0$.$\because a=1,b=2\sqrt {3},c=2,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(2\sqrt {3})^{2}-4× 1× 2=4＞0$.$\therefore$方程有两个不相等的实数根.$\therefore x=\frac {-2\sqrt {3}\pm \sqrt {4}}{2}=\frac {-2\sqrt {3}\pm 2}{2}$.$\therefore x_1=-\sqrt {3}+1,x_2=-\sqrt {3}-1$.
(2)原方程可化为$2x^{2}+4x-3=0$.$\because a=2,b=4,c=-3,\therefore \Delta =b^{2}-4×2× (-3)=40＞0$.$\therefore$方程有两个不相等的实数根.$\therefore x=\frac {-4\pm \sqrt {40}}{2× 2}=\frac {-4\pm 2\sqrt {10}}{4}$.$\therefore x_1=\frac {-2+\sqrt {10}}{2},x_2=\frac {-2-\sqrt {10}}{2}$.

11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(k + 1)x+2k - 2 = 0$.
(1) 试判断方程的根的情况.
(2) 若此方程有一个根大于 $0$ 且小于 $1$，求 $k$ 的取值范围.

答案： 11.
(1)$\because a=1,b=-(k+1),c=2k-2,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=[-(k+1)]^{2}-4× (2k-2)=k^{2}-6k+9=(k-3)^{2}\geqslant 0$.$\therefore$此方程总有两个实数根.
(2)$x=\frac {(k+1)\pm \sqrt {(k-3)^{2}}}{2}$,解得$x_1=k-1,x_2=2$.$\because$此方程有一个根大于$0$且小于$1,\therefore 0＜k-1＜1$.$\therefore 1＜k＜2$.

12. 新考向 阅读理解【材料背景】
方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的根是 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；方程 $y^{2}+by + ac = 0$ 的根是 $y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2}$.因此，要求 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的根，只需要求出方程 $y^{2}+by + ac = 0$ 的根，再除以 $a$ 就可以了.
【特例分析】
举例：解方程 $72x^{2}+8x+\frac{1}{6}=0$.
解：先解方程 $y^{2}+8y + 72×\frac{1}{6}=0$，得 $y_{1}=-2$，$y_{2}=-6$.
$\therefore$方程 $72x^{2}+8x+\frac{1}{6}=0$ 的两根是 $x_{1}=\frac{-2}{72}$，$x_{2}=\frac{-6}{72}$，
即 $x_{1}=-\frac{1}{36}$，$x_{2}=-\frac{1}{12}$.
【知识运用】
请按上述阅读理解中所提供的方法解方程：$49x^{2}+6x-\frac{1}{7}=0$.

答案： 12.解：先解方程$y^{2}+6y-49× \frac {1}{7}=0$，即$y^{2}+6y-7=0$.$\because a=1,b=6,c=-7,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=6^{2}-4× 1× (-7)=64＞0$.$\therefore$方程有两个不相等的实数根.$\therefore y=\frac {-6\pm \sqrt {64}}{2× 1}$.$\therefore y_1=1,y_2=-7$.$\therefore$方程$49x^{2}+6x-\frac {1}{7}=0$的根为$x_1=\frac {1}{49},x_2=-\frac {1}{7}$.