《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

例 已知抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + b x + 4 $ 经过 $ ( - 2, n ) $ 和 $ ( 4, n ) $ 两点，求 $ b $ 与 $ n $ 的值。
解题关键 若抛物线上不重合的两个点的坐标分别为 $ A ( x _ { 1 }, y _ { 1 } ) $，$ B ( x _ { 2 }, y _ { 2 } ) $，且 $ y _ { 1 } = y _ { 2 } $，则 $ A $，$ B $ 两点关于抛物线的对称轴对称，且该抛物线的对称轴为直线 $ x = \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } $。
解：由 $ y = - x ^ { 2 } + b x + 4 $ 可知抛物线的对称轴为直线 $ x = $$\frac{b}{2}$。
由抛物线经过 $ ( - 2, n ) $ 和 $ ( 4, n ) $ 两点，可知其对称轴为直线 $ x = $$\frac{-2 + 4}{2}$$ = $1。
$ \therefore $$\frac{b}{2}$$ = $1，解得 $ b = $2。
$ \therefore $ 抛物线的解析式为 $ y = $$-x^2 + 2x + 4$。
将点 $ ( - 2, n ) $ 代入函数解析式，可得 $ n = $-4。

答案： 【例】$\frac{b}{2}$ $\frac{-2 + 4}{2}$ 1 $\frac{b}{2}$ 1 2 $-x^2 + 2x + 4$ -4

1. 二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ 的部分对应值如下表：

则它的图象的对称轴为直线 $ x = $1；当 $ x = 2 $ 时，对应的函数值为-8。

答案： 1.1 -8

2. 如图，二次函数 $ y = - x ^ { 2 } + m x + n $ 的图象与 $ x $ 轴的一个交点坐标为 $ ( 5, 0 ) $，那么关于 $ x $ 的一元二次方程 $ - x ^ { 2 } + m x + n = 0 $ 的解为$x_1 = 5,x_2 = -1$。
拓展提问 不等式 $ - x ^ { 2 } + m x + n ＜ 0 $ 的解集为$x ＜ -1$或$x ＞ 5$。

答案： 2.$x_1 = 5,x_2 = -1$【拓展提问】$x ＜ -1$或$x ＞ 5$

$($一题多设问$)$已知二次函数$ y = x ^ { 2 } - 2 x - 3 ，$根据下列要求回答下列问题$.$　　
$(1)$将其化为顶点式为　　$y=(x-1)^{2}-4$　　，请在下列方框内画出该函数的示意图，并标明其顶点及与$ x $轴的交点$.$　　
$(2)$请根据示意图填空：　　
$①$当$ x = $　　$1$　　时，函数$ y $有最小值，为　　$-4$　　$.$　　
$②$当$ - 2 \leq x \leq 0 $时，函数$ y $的最大值为　　$5$　　，最小值为　　$-3$　　$.$　　
$③$当$ - 1 \leq x \leq 4 $时，函数$ y $的最大值为　　$5$　　，最小值为　　$-4$　　$.$　　
$④$若当$ t \leq x \leq 6 $时，函数$ y $的最小值为$ - 2 ，$则$ t $的值为　　$1+\sqrt{2}$　　$.$　　
$⑤$若当$ x \leq a $时，函数$ y $有最小值$ - 4 ，$则$ a $的取值范围是　　$a≥1$　　$.$　　
$【$方法指导$】 $解决此类题，一般先画出二次函数的示意图$($画出顶点及与$ x $轴的交点或画出对称轴及开口方向$)，$再根据题意在示意图上标出符合题意的一段函数图象，从而求出最值或函数值的范围，也可根据最值求参数的值$.$　　

答案：

(1)$y=(x-1)^{2}-4$ 如图所示

(2)①1 -4 ②5 -3 ③5 -4 ④$1+\sqrt{2}$ ⑤$a\geqslant1$

1. 已知抛物线 $ y = x ^ { 2 } - 2 x - 6 $，当 $ - 1 ＜ x ＜ 4 $时，对应的函数 $ y $ 的取值范围是 (A)

A.$ - 7 \leq y ＜ 2 $
B.$ - 7 ＜ y ＜ 2 $
C.$ - 3 ＜ y ＜ 2 $
D.$ - 7 \leq y ＜ - 3 $

答案： 1.A

2. 【定轴定区间】已知二次函数 $ y = a ( x - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } - a ( a \neq 0 ) $，当 $ - 1 \leq x \leq \frac { 5 } { 2 } $时，$ y $ 的最大值为 $ 6 $，则 $ a $ 的值为 (B)

A.$ 6 $ 或$ - 2 $
B.$ - 6 $ 或 $ 2 $
C.$ - 6 $ 或$ - 2 $
D.$ 6 $ 或 $ 2 $

答案： 2.B

3. 【定轴动区间】已知二次函数 $ y = - x ^ { 2 } - 2 x + 3 $，当 $ a \leq x \leq \frac { 1 } { 2 } $时，函数 $ y $ 的最小值为 $ 1 $，则 $ a $的值为 (A)

A.$ - \sqrt { 3 } - 1 $
B.$ \sqrt { 3 } - 1 $
C.$ - 2 $
D.$ 0 $

答案： 3.A

4. 【定轴动区间】(2024·乐山)已知二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 x ( - 1 \leq x \leq t - 1 ) $，当 $ x = - 1 $ 时，函数取得最大值；当 $ x = 1 $ 时，函数取得最小值，则 $ t $ 的取值范围是 (C)

A.$ 0 ＜ t \leq 2 $
B.$ 0 ＜ t \leq 4 $
C.$ 2 \leq t \leq 4 $
D.$ t \geq 2 $

答案： 4.C

5. 【动轴定区间】(2024·南宁三十七中月考)已知二次函数 $ y = ( x - m ) ^ { 2 } - 1 $（$ m $ 为常数），当自变量 $ x $ 的值满足 $ 2 \leq x \leq 5 $ 时，与其对应的函数 $ y $ 的最小值为 $ 3 $，则 $ m $ 的值为____.

答案： 5.0或7