《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

9. 若矩形 $ ABCD $ 的两邻边长分别为一元二次方程 $ (x - 3)(x - 4) = 0 $ 的两个实数根，则矩形 $ ABCD $ 的对角线长为 (C)

A.$ \sqrt{7} $
B.4
C.5
D.10

答案： 9.C

10. 方程 $ 9(x + 1)^{2} - 4(x - 1)^{2} = 0 $ 的正确解法是 (C)

A.直接开平方得 $ 3(x + 1) = 2(x - 1) $
B.化为一般形式 $ 13x^{2} + 5 = 0 $
C.分解因式得 $ [3(x + 1) + 2(x - 1)][3(x + 1) - 2(x - 1)] = 0 $
D.直接得 $ x + 1 = 0 $ 或 $ x - 1 = 0 $

答案： 10.C

11. 已知正比例函数 $ y = - \frac{2}{7}x $ 的图象上有一个点 $ M $，点 $ M $ 的横坐标是方程 $ x^{2} + 5x - 14 = 0 $ 的根，则点 $ M $ 的纵坐标为2或$-\frac{4}{7}$.

答案： 11.2或$-\frac{4}{7}$

12. 方程 $ x^{2} = |x| $ 的根是0，$\pm1$.

答案： 12.0，$\pm1$

13. 用因式分解法解下列方程：
(1) $ (3x + 2)^{2} - 4x^{2} = 0 $.
(2) $ 2(x - 3)^{2} = x^{2} - 9 $.

答案： 13.解：
(1)$(3x + 2 + 2x)(3x + 2 - 2x) = 0$，$(5x + 2)(x + 2) = 0$，解得$x_1 = -\frac{2}{5}$，$x_2 = -2$。
(2)$2(x - 3)^2 - (x + 3)(x - 3) = 0$，$(x - 3)[2(x - 3) - (x + 3)] = 0$，$(x - 3)(x - 9) = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = 9$。

14. 新考向 阅读理解 (2024·柳州三十五中开学考)
【阅读理解】
如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + bx + c = 0 $ ($ a \neq 0 $) 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”. 例如：一元二次方程 $ x^{2} + x = 0 $ 的两个根是 $ x_{1} = 0,x_{2} = - 1 $，则方程 $ x^{2} + x = 0 $ 是“邻根方程”.
【提出问题】
(1) 通过计算，判断方程 $ x^{2} - 9x + 20 = 0 $ 是不是“邻根方程”.
【灵活运用】
(2) 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} - (m - 1)x - m = 0 $ ($ m $ 是常数) 是“邻根方程”，求 $ m $ 的值.

答案： 14.解：
(1)$x^2 - 9x + 20 = 0$，解得$x_1 = 4$，$x_2 = 5$。$\because 5 - 4 = 1$，$\therefore$方程$x^2 - 9x + 20 = 0$是“邻根方程”。
(2)$x^2 - (m - 1)x - m = 0$，解得$x_1 = m$，$x_2 = -1$。$\because$方程$x^2 - (m - 1)x - m = 0$（$m$是常数）是“邻根方程”，$\therefore m = -1 + 1 = 0$或$m = -1 - 1 = -2$。$\therefore m$的值为$0$或$-2$。

【例】由多项式乘法：$(x + a)(x + b) = x^{2} + ($_________$)x + $$$，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：$x^{2} + (a + b)x + ab = (x + $$)(x + $$)$.
示例：
分解因式：$x^{2} + 3x + 2 = x^{2} + (1 + 2)x + 1×2 = (x + 1)(x + 2)$；
$x^{2} - 5x + 6 = x^{2} + [(-2) + (-3)]x + (-2)×(-3) = (x - 2)(x - 3)$.
（1）分解因式：$x^{2} + 6x + 8 = (x + $$)(x + $$)$；
根据乘法原理：若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$.
（2）依照上面的方法和原理，解下列方程：
①$x^{2} + 5x + 6 = 0$.②$x^{2} - 7x + 10 = 0$.③$x^{2} - x - 12 = 0$.④$3x^{2} - 2x - 1 = 0$.

答案： （1）$2 \ 4$ （2）①$(x + 2)(x + 3) = 0$ $\therefore x + 2 = 0$ 或 $x + 3 = 0$ $\therefore x_1 = -2$,$x_2 = -3$ ②$(x - 5)(x - 2) = 0$ $\therefore x - 5 = 0$ 或 $x - 2 = 0$ $\therefore x_1 = 5$,$x_2 = 2$ ③$(x - 4)(x + 3) = 0$ $\therefore x - 4 = 0$ 或 $x + 3 = 0$ $\therefore x_1 = 4$,$x_2 = -3$ ④$(x - 1)(3x + 1) = 0$ $\therefore x - 1 = 0$,$3x + 1 = 0$ $\therefore x_1 = 1$,$x_2 = -\frac{1}{3}$