《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

5. 如图，抛物线$y = x^2 + bx + c$与$x$轴交于$A$，$B$两点，且$A(-1,0)$，对称轴为直线$x = 2$。
(1) 求抛物线的函数解析式。
(2) 直线$l$过点$A$且在第一象限与抛物线交于点$C$。当$\angle CAB = 45^{\circ}$时，求点$C$的坐标。

答案： 5.解:
(1)$\because$抛物线过$A(-1,0)$，对称轴为直线$x = 2$，$\therefore\begin{cases}0=1 - b + c\\-\frac{b}{2×1}=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -4\\c = -5\end{cases}$。$\therefore$抛物线的函数解析式为$y=x^{2}-4x - 5$。
(2)过点$C$作$CE\perp x$轴于点$E$。$\because\angle CAB = 45^{\circ}$，$\therefore AE = CE$。设点$C$的横坐标为$x_C$，则纵坐标$y_C=x_C + 1$。$\therefore C(x_C,x_C + 1)$。代入$y=x^{2}-4x - 5$，得$x_C + 1=x_C^{2}-4x_C - 5$，解得$x_C=-1$（舍去）或$x_C=6$。$\therefore y_C=7$。$\therefore$点$C$的坐标是$(6,7)$。

6. 如图，抛物线$y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{2}x + 4$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，连接$AC$，$BC$。点$P$是抛物线上的一动点，当$\angle PCB = \angle ABC$时，求点$P$的坐标。

答案：
6.解：在$y=-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x + 4$中，令$y = 0$，则$-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x + 4 = 0$，解得$x=-2$或$x = 8$。$\therefore A(-2,0)$，$B(8,0)$。在$y=-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x + 4$中，令$x = 0$，则$y = 4$。$\therefore C(0,4)$。
①当点$P$在$BC$上方时，如图1，$\because\angle PCB=\angle ABC$，$\therefore PC// AB$。$\therefore$点$C$，$P$的纵坐标相等。$\therefore$点$P$的纵坐标为$4$。令$y = 4$，则$-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x + 4 = 4$，解得$x = 0$（舍去）或$x = 6$。$\therefore P(6,4)$；

②当点$P$在$BC$下方时，如图2，设$PC$交$x$轴于点$H$。$\because\angle PCB=\angle ABC$，$\therefore HC = HB$。设$HB = HC = m$，则$OH=OB - HB = 8 - m$。在$Rt\triangle COH$中，$\because OC^{2}+OH^{2}=CH^{2}$，$\therefore4^{2}+(8 - m)^{2}=m^{2}$，解得$m = 5$。$\therefore OH = 3$。$\therefore H(3,0)$。设直线$PC$的解析式为$y=kx + n$，则$\begin{cases}n = 4\\3k + n = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{4}{3}\\n = 4\end{cases}$。$\therefore y=-\frac{4}{3}x + 4$。联立$\begin{cases}y=-\frac{4}{3}x + 4\\y=-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{3}{2}x + 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_1=0\\y_1=4\end{cases}$（舍去），$\begin{cases}x_2=\frac{34}{3}\\y_2=-\frac{100}{9}\end{cases}$。$\therefore P(\frac{34}{3},-\frac{100}{9})$。
综上所述，点$P$的坐标为$(6,4)$或$(\frac{34}{3},-\frac{100}{9})$。

7. (2022·玉林节选)如图，已知抛物线$y = -2x^2 + bx + c$与$x$轴交于点$A$，$B(2,0)$（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$，对称轴是直线$x = \frac{1}{2}$，$P$是第一象限内抛物线上的任意一点。
(1) 求抛物线的解析式。
(2) 若点$D$为线段$OC$的中点，则$\triangle POD$能否是等边三角形？请说明理由。

答案： 7.解:
(1)由题意，得$\begin{cases}-8 + 2b + c = 0\\-\frac{b}{-4}=\frac{1}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 2\\c = 4\end{cases}$。$\therefore$抛物线的解析式为$y=-2x^{2}+2x + 4$。
(2)$\triangle POD$不可能是等边三角形。理由如下：取$OD$的中点$E$，过点$E$作$EP// x$轴，交抛物线于点$P$，连接$PD$，$PO$。$\because C(0,4)$，$D$是$OC$的中点，$\therefore D(0,2)$。$\therefore E(0,1)$。当$y = 1$时，$-2x^{2}+2x + 4=1$，整理，得$2x^{2}-2x - 3 = 0$，解得$x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$（舍去）。$\therefore P(\frac{1+\sqrt{7}}{2},1)$。$\therefore OD\neq OP$。$\therefore\triangle POD$不可能是等边三角形。