《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，将△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E=3$\sqrt {3}$-3.

答案： 9.3$\sqrt {3}$-3

10. 在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是90°.

答案： 10.90°

11. 【转化思想】如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A₁BC₁，则阴影部分的面积为9.

答案： 11.9

12. (2024·雅安)如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD//BC时，∠BAE的度数是30°或150°.

答案： 12.30°或150°

13. 如图，四边形ABCD是正方形，点F是BA延长线上一点，连接DF，△ADF绕点A旋转一定角度后得到△ABE，AF=3，AB=7.
(1) 直接写出旋转角的度数.
(2) 求DE的长度.
(3) 求证：直线BE⊥DF.

答案： 13.解：
(1)旋转角的度数为90°.
(2)
∵△ADF绕点A旋转一定角度后得到△ABE，
∴AE=AF=3,AD=AB=7.
∴DE=AD-AE=7-3=4.
(3)证明：延长BE交DF于点H.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=90°.
∵△ADF绕点A旋转一定角度后得到△ABE，
∴△ABE≌△ADF.
∴∠ABE=∠ADF.又
∵∠BEA=∠DEH，
∴∠DHE=∠BAE=90°.
∴BE⊥DF.

14. 综合与探究：
如图所示，O是等边三角形ABC内的任意一点，连接OA，OB，OC，∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC.
【初步应用】
(1) 求∠DAO的度数.
【深入探究】
(2) 用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明.

答案： 14.解：
(1)
∵∠AOB=150°,∠BOC=120°,
∴∠AOC=360°-150°-120°=90°.由旋转的性质可知，∠OCD=60°,∠ADC=∠BOC=120°,
∴∠DAO=360°-60°-90°-120°=90°.
(2)OA²+OB²=OC².证明：连接OD.
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴△ADC≌△BOC,∠OCD=60°.
∴CD=OC,AD=OB.
∴△OCD是等边三角形.
∴OC=OD.在Rt△ADO中，∠DAO=90°,
∴OA²+AD²=OD².
∴OA²+OB²=OC².