《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

新考向 综合与实践(2024·南宁新民中学期中)在综合实践课上,数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究.把“T”形尺按如图1所示的方式摆放,水平宽AB的中点为C,图象的顶点为D,测得当AB=m cm时,CD=n cm.
【猜想】
(1)探究小组先对y=x²的图象进行多次测量,测得m与n的部分数据如下表:

描点:以表中各组对应值为点的坐标,在图2的平面直角坐标系内描出相应的点.
连线:用光滑的曲线顺次连接各点.
猜想:n与m的关系式是$n = \frac {1}{4}m^{2}$.

【验证】
(2)探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究,发现测得的n与m也存在类似的关系式,并针对二次函数y=a(x-h)²+k(a＞0)的情况进行了推理验证.请从下表中任选一种方法(在“□”内打“√”)并补全其推理过程.(根据需要,选用字母a,m,n,h,k表示答案)

【应用】
(3)已知AB//x轴且AB=4,两个二次函数y=2(x-h)²+k和y=a(x-h)²+d的图象都经过A,B两点.当这两个函数图象的顶点之间的距离为10时,求a的值.

答案：
(1)$n = \frac {1}{4}m^{2}$
(2)$(\frac {1}{2}m,n)$ $n = \frac {1}{4}am^{2}$ $(h + \frac {1}{2}m,k$ $+ n)$ $n = \frac {1}{4}am^{2}$ a
(3)
∵$y = 2(x - h)^{2} + k$,$a = 2$,
∴$n_{1} = \frac {2 × 4^{2}}{4} = 8$.①当$a ＞ 0$时，此时抛物线开口向上，由
(2)知，$n = \frac {am^{2}}{4}$,$a = \frac {4n}{m^{2}}$.
∵两个函数图象的顶点之间的距离为10，
∴$n_{2} = 18$.
∴$a = \frac {4 × 18}{4^{2}} = \frac {9}{2}$;②当$a ＜ 0$时，同理可得$n_{2} = - 2$，此时$a = - \frac {1}{2}$.综上所述，$a = \frac {9}{2}$或$- \frac {1}{2}$.