《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

11. 已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为π或4π。

答案： 11.$\pi$或$4\pi$

12. 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型。若圆的半径为 $1$，扇形的圆心角等于 $90^{\circ}$，则扇形的半径是(B)

A.$2$
B.$4$
C.$6$
D.$8$

答案： 12.B

13. (新考向 真实情境)蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成。如图所示的是一个蒙古包的示意图，底面圆的半径 $DE = 2\ m$，圆锥的高 $AC = 1.5\ m$，圆柱的高 $CD = 2.5\ m$，则下列说法错误的是(C)

A.圆柱的底面积为 $4\pi\ m^2$
B.圆柱的侧面积为 $10\pi\ m^2$
C.圆锥的母线 $AB$ 长为 $2.25\ m$
D.圆锥的侧面积为 $5\pi\ m^2$

答案： 13.C

14. 如图，圆锥的高是 $4$，它的侧面展开图是圆心角为 $120^{\circ}$的扇形，则圆锥的侧面积是6π（结果保留 $\pi$）。

答案： 14.$6\pi$

15. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AB = 2\sqrt{3}$，$\angle C = 120^{\circ}$，以点 $C$ 为圆心的$\overset{\frown}{EF}$与 $AB$，$AD$ 分别相切于点 $G$，$H$，与 $BC$，$CD$ 分别相交于点 $E$，$F$。若用扇形 $CEF$ 作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为2√2。

答案： 15.$2\sqrt{2}$

16. (新考向 综合与实践)(2024·南宁三中期中)【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽。
素材：一张圆形纸板、装饰彩带。
步骤1：如图1，将一个底面半径为 $r$ 的圆锥侧面展开，可得到一个半径为 $l$、圆心角为 $n^{\circ}$的扇形。制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料。
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽。
(1) 现在需要制作一个 $r = 10\ cm$，$l = 30\ cm$的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数。
(2) 为了使(1)中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点 $A$ 处开始，绕侧面一周又回到点 $A$的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值。

答案： 16.解：
(1)$\because \frac{n\pi l}{180} = 2\pi r$,$\therefore \frac{n\pi × 30}{180} = 2\pi × 10$,解得$n = 120$. $\therefore$所需扇形纸板的圆心角度数为$120^{\circ}$.
(2)连接$AA^{\prime}$,过点$P$作$PH \perp AA^{\prime}$于点$H$,则线段$AA^{\prime}$的长度就是彩带长度的最小值.由
(1)得,$PA = PA^{\prime} = 30\ cm$,$\angle APA^{\prime} = 120^{\circ}$,$\therefore \angle PAH = \angle PA^{\prime}H = 30^{\circ}$,$AH = A^{\prime}H$. $\therefore PH = \frac{1}{2}AP = 15\ cm$.在$Rt \triangle APH$中,$AH = \sqrt{AP^{2} - PH^{2}} = \sqrt{30^{2} - 15^{2}} = 15\sqrt{3}(cm)$. $\therefore AA^{\prime} = 2AH = 30\sqrt{3}\ cm$. $\therefore$彩带长度的最小值为$30\sqrt{3}\ cm$.