《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

10. (2023·河池宜州区期中) 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，点 $ A(-1,2) $，$ B(2,3) $，二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象如图所示，则 $ a $ 的值可以为(B)

A.0.7
B.0.9
C.2
D.2.1
]

答案： 10.B

11. 当 $ ab ＞ 0 $ 时，$ y = ax^2 $ 与 $ y = ax + b $ 的图象大致是 (D)
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答案： 11.D

12. 如图，正方形 $ OABC $ 的边长为 2，$ OC $ 与 $ y $ 轴正半轴的夹角为 $ 30° $，点 $ A $ 在抛物线 $ y = ax^2 $($ a ＜ 0 $)上，则 $ a $ 的值为 (D)

A.-3
B.$ -\sqrt{3} $
C.$ -\frac{\sqrt{3}}{3} $
D.$ -\frac{1}{3} $
]

答案： 12.D

13. (2024·玉林北流市期中) 如图，已知四条抛物线所对应的函数解析式分别为：① $ y = ax^2 $；② $ y = bx^2 $；③ $ y = cx^2 $；④ $ y = dx^2 $. 比较 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 的大小：$a＞b＞d＞c$（用“＞”连接）.
]

答案： 13.$a＞b＞d＞c$

14. 关于抛物线 $ y = -x^2 $，给出下列说法：
① 抛物线开口向下，顶点是原点.
② 当 $ x ＞ 10 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.
③ 当 $ -1 ＜ x ＜ 2 $ 时，$ -4 ＜ y ＜ -1 $.
④ 若 $ (m,p) $，$ (n,p) $ 是该抛物线上两个不同的点，则 $ m + n = 0 $.
其中正确的有.（填序号）①②④

答案： 14.①②④

15. 已知 $ y = (k + 2)x^{k^2 + k - 4} $ 是二次函数，且顶点是函数图象的最高点.
(1) 求 $ k $ 的值.
(2) 如果点 $ P(m,n) $ 是此二次函数的图象上一点，若 $ -2 \leq m \leq 1 $，则 $ n $ 的取值范围为$-4\leq n\leq0$（直接写出结果）.

答案： 15.解：
(1)根据题意，得$k+2\neq0$且$k^2+k-4=2$，解得$k_1=-3$，$k_2=2$。
∵顶点是函数图象的最高点，
∴二次函数图象的开口向下，即$k+2＜0$，
解得$k＜-2$。
∴$k$的值为$-3$。
(2)$-4\leq n\leq0$

16. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A(2,4) $ 在抛物线 $ y = ax^2 $ 上，过点 $ A $ 作 $ y $ 轴的垂线，交抛物线于另一点 $ B $. 点 $ C $，$ D $ 在线段 $ AB $ 上，分别过点 $ C $，$ D $ 作 $ x $ 轴的垂线交抛物线于 $ E $，$ F $ 两点.
初步探索
(1) 求抛物线的解析式.
拓展应用
(2) 当四边形 $ CDFE $ 为正方形时，求线段 $ CD $ 的长.
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答案： 16.解：
(1)
∵点$A(2,4)$在抛物线$y=ax^2$上，
∴$4 = 4a$，解得$a=1$。
∴抛物线的解析式为$y=x^2$。
(2)
∵四边形$CDFE$为正方形，
∴$CD// EF$，$CD=EC=EF$。又
∵$AB\perp y$轴，
∴$EF\perp y$轴，即$EF// x$轴。设点$E$的横坐标为$m(m＞0)$，
∵点$E$在抛物线上，
∴$E(m,m^2)$。
∴$EF=2m$。又
∵$AB\perp y$轴，$CE\perp x$轴，$A(2,4)$，
∴$C(m,4)$。
∴$EC=4-m^2$。
∵$EC=EF$，
∴$4-m^2=2m$。解得$m_1=-1-\sqrt{5}$(舍去)，$m_2=-1+\sqrt{5}$。
∴$CD=2m=-2+2\sqrt{5}$。