《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

$1. ($教材九上$ P17 $习题$ T7 $变式$)$不解方程$,$求下列各方程的两根之和与两根之积$:$　　
$(1) 2x^{2}+5x - 1 = 0: x_{1}+x_{2}=$　　$-\frac{5}{2}$　　$, x_{1}x_{2}=$　　$-\frac{1}{2}$　　$.$　　
$(2) -x^{2}+6x - 2 = 0: x_{1}+x_{2}=$　　$6$　　$, x_{1}x_{2}=$　　$2$　　$.$　　
$(3) 4x^{2}+1 = 7x: x_{1}+x_{2}=$　　$\frac{7}{4}$　　$, x_{1}x_{2}=$　　$\frac{1}{4}$　　$.$　　
$(4) 3x^{2}-1 = 0: x_{1}+x_{2}=$　　$0$　　$, x_{1}x_{2}=$　　$-\frac{1}{3}$　　$.$　　

答案： 1.
(1)$-\frac{5}{2}$ $-\frac{1}{2}$
(2)6 2
(3)$\frac{7}{4}$ $\frac{1}{4}$
(4)0 $-\frac{1}{3}$

2. (2023·遂宁)若 $a,b$ 是一元二次方程 $x^{2}-3x + 1 = 0$ 的两个实数根,则代数式 $a + b - ab$ 的值为2.

答案： 2.2

3. (2024·桂林期末)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-mx + 2 = 0$ 的一个根为$-2$,则另一个根为-1.

答案： 3.-1

4. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}+2x - k - 1 = 0$ 的两根,且 $x_{1}x_{2}=-3$,则 $k$ 的值为 (B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 4.B

5. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-5x - 2 = 0$ 的两个根,不解方程,求下列各式的值:
(1) $x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}$.
(2) $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$.

答案： 5.解：由题可知，$x_1 + x_2 = 5$，$x_1x_2 = -2$。
(1)$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2) = -2×5 = -10$。
(2)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{5}{-2} = -\frac{5}{2}$。

6. (2023·岳阳)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2mx + m^{2}-m + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1},x_{2}$,且 $x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=2$,则 $m =$3.

答案： 6.3

7. (2024·南宁期末)小州与小冬在解方程 $x^{2}+bx + c = 0$ 时,小州写错了常数项,得到方程的两个根是 $2$ 和$-4$,小冬写错了一次项系数,得到方程的两个根是$-1$ 和 $3$,则 $b$ 与 $c$ 的值分别是 (B)

A.$2,-8$
B.$2,-3$
C.$-2,8$
D.$2,3$

答案： 7.B

$8. $若一元二次方程$ 2x^{2}-3x - 6 = 0 $的两个根为$ m,n,$则$ m^{2}+n^{2} $的值是　　$\frac{33}{4}$　　$.$　　

答案： 8.$\frac{33}{4}$

9. (2023·乐山改编)若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-8x + m = 0$ 的两个根为 $x_{1},x_{2}$,且 $x_{1}=3x_{2}$,则 $m$ 的值为12.

答案： 9.12

10. (2023·襄阳)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x + 3 - k = 0$ 有两个不相等的实数根.
(1)求 $k$ 的取值范围.
(2)若方程的两个根为 $\alpha,\beta$,且 $k^{2}=\alpha\beta + 3k$,求 $k$ 的值.

答案： 10.解：
(1)
∵方程有两个不相等的实数，
∴$\Delta＞0$，即$2^2 - 4×1×(3 - k) = -8 + 4k＞0$。
∴$k＞2$。
(2)根据题意，得$\alpha\beta = 3 - k$。
∴$k^2 = 3 - k + 3k$，解得$k_1 = 3$，$k_2 = -1$。
∵$k＞2$，
∴$k$的值为3。

11. 已知 $a,b$ 分别满足 $a^{2}-6a + 4 = 0,b^{2}-6b + 4 = 0$,则 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$ 的值是2或7.

答案： 11.2或7