《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

5. (2024·南宁银海三雅模拟)如图，在 $\triangle ABC$ 中，$BA = BC$，以 $AB$ 为直径作 $\odot O$，交 $AC$ 于点 $D$，连接 $DB$，过点 $D$ 作 $DE\perp BC$，垂足为 $E$。求证：
(1)$AD = CD$。
(2)$DE$ 为 $\odot O$ 的切线。

答案： 5.证明：
(1)
∵AB为直径,
∴∠ADB = 90°.
∵BA = BC,
∴AD = CD.
(2)连接OD.
∵AD = CD,AO = OB,
∴OD为△BAC的中位线.
∴OD//BC.
∵DE⊥BC,
∴OD⊥DE.
∵OD为⊙O的半径,
∴DE为⊙O的切线.

6. (2024·南宁银海三雅期中)如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$ 为边 $AC$ 上的点，以 $AD$ 为直径作 $\odot O$，交 $AB$ 于点 $F$，连接 $BD$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $E$，连接 $CE$，$CE = BC$。
(1)求证：$CE$ 是 $\odot O$ 的切线。
(2)若 $CD = 2$，$BC = 2\sqrt{3}$，求 $\odot O$ 的半径。

答案： 6.解：
(1)证明：连接OE.
∵OE = OD,
∴∠OED = ∠ODE.
∵∠CDB = ∠ODE,
∴∠OED = ∠CDB.
∵∠CDB + ∠CBD = 180° - ∠ACB = 90°,
∴∠OED + ∠CBD = 90°.
∵CE = BC,
∴∠CED = ∠CBD.
∴∠OED + ∠CED = 90°.
∴∠OEC = 90°,即OE⊥CE.又
∵OE是⊙O的半径,
∴CE是⊙O的切线.
(2)设⊙O的半径为r,则OC = OD + CD = r + 2.在Rt△OCE中,根据勾股定理,得OC² = OE² + CE².
∵CE = BC = 2√3,
∴(r + 2)² = r² + (2√3)²,解得r = 2,即⊙O的半径是2.

7. (2023·重庆)如图，$AC$ 是 $\odot O$ 的切线，$B$ 为切点，连接 $OA$，$OC$。若 $\angle A = 30^{\circ}$，$AB = 2\sqrt{3}$，$BC = 3$，则 $OC$ 的长是(C)

A.$3$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{13}$
D.$6$

答案： 7.C

8. 如图，$AB$，$AC$ 是 $\odot O$ 的弦，过点 $A$ 的切线交 $CB$ 的延长线于点 $D$。若 $\angle BAD = 35^{\circ}$，则 $\angle C =$35°。

答案： 8.35°

9. 新考向 几何直观 如图，$C$ 为线段 $AB$ 的中点，$BC$ 为 $\odot O$ 的直径，$AD$ 为 $\odot O$ 的切线，切点为 $D$。
(1)请用无刻度的直尺和圆规作 $OE\perp CD$，垂足为 $E$，且直线 $OE$ 交 $AD$ 于点 $F$。(要求：不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，求证：$\angle ADC = \angle AOF$。

答案：
9.解：
(1)如图所示

(2)证明：连接OD.
∵AD为⊙O的切线,
∴∠ADO = 90°.
∴∠ODE + ∠ADC = 90°
由
(1)知,OE⊥CD,
∴∠OEC = 90°.
∴∠OCE + ∠AOF = 90°.
∵OD = OC,
∴∠OCE = ∠ODE.
∴∠ADC = ∠AOF.