《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

10. (教材九上 P40 练习 T1 变式)经过 $ A(4,0) $，$ B(-2,0) $，$ C(0,3) $ 三点的抛物线的解析式是$y = - \frac{3}{8}x^{2} + \frac{3}{4}x + 3$。

答案： 10.$y = - \frac{3}{8}x^{2} + \frac{3}{4}x + 3$

11. 一抛物线与抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^{2} - 4x + 3 $ 的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为 $ (-2,1) $，则此抛物线的解析式为(C)

A.$ y = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + 1 $
B.$ y = \frac{1}{2}(x + 2)^{2} - 1 $
C.$ y = \frac{1}{2}(x + 2)^{2} + 1 $
D.$ y = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1 $

答案： 11.C

12. 已知抛物线经过点 $ A(2,0) $ 和 $ B(-1,0) $，且与 $ y $ 轴交于点 $ C $。若 $ OC = 2 $，则这条抛物线的解析式是$y = x^{2} - x - 2$或$y = - x^{2} + x + 2$。

答案： 12.$y = x^{2} - x - 2$或$y = - x^{2} + x + 2$

13. 二次函数的图象如图所示，则其解析式为$y = - x^{2} + 2x + 3$。

答案： 13.$y = - x^{2} + 2x + 3$

14. 如图，抛物线的顶点 $ M $ 在 $ y $ 轴上，抛物线与直线 $ y = x + 1 $ 相交于 $ A,B $ 两点，且点 $ A $ 在 $ x $ 轴上，点 $ B $ 的横坐标为 $ 2 $，那么抛物线的函数关系式为$y = x^{2} - 1$。

答案： 14.$y = x^{2} - 1$

15. 已知二次函数的图象经过点 $ A(1,-2) $ 和 $ B(0,-1) $，且对称轴为直线 $ x = 1 $，求这个二次函数的解析式。

答案： 15.解：设这个二次函数的解析式为$y = a(x - 1)^{2} - 2$。把$B(0, - 1)$代入，得$- 1 = a(0 - 1)^{2} - 2$，解得$a = 1$。$\therefore$这个二次函数的解析式为$y = (x - 1)^{2} - 2$。

16. 如图，抛物线 $ y = ax^{2} + bx - 5(a \neq 0) $ 经过点 $ A(4,-5) $，与 $ x $ 轴的负半轴交于点 $ B $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，且 $ OC = 5OB $，抛物线的顶点为 $ D $。
（1）求该抛物线的解析式。
（2）连接 $ AB,BC,CD,DA $，求四边形 $ ABCD $ 的面积。

答案： 16.解：
(1)$\because$抛物线$y = ax^{2} + bx - 5$与$y$轴交于点$C$，$\therefore$点$C$的坐标为$(0, - 5)$。$\therefore OC = 5$。$\because OC = 5OB$，$\therefore OB = 1$。又$\because$点$B$在$x$轴的负半轴上，$\therefore$点$B$的坐标为$( - 1,0)$。将点$A(4, - 5)$，$B( - 1,0)$代入$y = ax^{2} + bx - 5$，得$\begin{cases}16a + 4b - 5 = - 5 \\a - b - 5 = 0 \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 1 \\b = - 4 \end{cases}$。$\therefore$该抛物线的解析式为$y = x^{2} - 4x - 5$。
(2)$\because y = x^{2} - 4x - 5 = (x - 2)^{2} - 9$，$\therefore$顶点$D$的坐标为$(2, - 9)$。连接$AC$。$\because A(4, - 5)$，$C(0, - 5)$，$\therefore AC // x$轴，$AC = 4$。$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × 4 × 5 = 10$，$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} × 4 × [ - 5 - ( - 9)] = 8$。$\therefore S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD} = 18$。