《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

1. (2023·眉山)已知方程$x^{2}-3x - 4 = 0$的根为$x_{1},x_{2}$，则$(x_{1}+2)(x_{2}+2)$的值为6。

答案： 1.6

2. (2024·西宁)已知方程$x^{2}+2x - 1 = 0$的两根分别为$a$和$b$，则$4a^{2}+8ab + 4b^{2}$的值为16。

答案： 2.16

3. (2024·泸州)已知$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x - 5 = 0$的两个实数根，则$(x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}$的值是14。

答案： 3.14

4. (2024·南宁十四中开学考)已知$m,n$是方程$x^{2}+4x - 3 = 0$的两个实数根，则$m^{2}+5m + n + 2024$的值是2023。

答案： 4.2023

5. (2024·烟台)若一元二次方程$2x^{2}-4x - 1 = 0$的两根为$m,n$，则$3m^{2}-4m + n^{2}$的值为6。

答案： 5.6

6. 新考向 推理能力 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x + m = 0$有两个不相等的实数根$x_{1},x_{2}$，则(D)

A.$x_{1}+x_{2}＜0$
B.$x_{1}x_{2}＜0$
C.$x_{1}x_{2}＞-1$
D.$x_{1}x_{2}＜1$

答案： 6.D

7. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx + m^{2}-3m + 3 = 0$的两根互为倒数，则$m$的值为(B)

A.1
B.2
C.1或2
D.0

答案： 7.B

8. (2024·柳州三十五中开学考)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+6x+(2m + 1)=0$有实数根.
(1)求$m$的取值范围.
(2)若方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，且$2x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}\geqslant8$，求$m$的取值范围.

答案： 8.解：
(1)
∵方程有实数根，
∴$\Delta=36 - 4(2m + 1)=36 - 8m - 4 = 32 - 8m\geqslant0$，解得$m\leqslant4$。
(2)
∵$x_1$，$x_2$是方程$x^2 + 6x + (2m + 1)=0$的两个实数根，
∴$x_1 + x_2 = - 6$，$x_1x_2 = 2m + 1$。
∵$2x_1x_2 - x_1 - x_2\geqslant8$，
∴$2(2m + 1)+ 6\geqslant8$，解得$m\geqslant0$。由
(1)得，$m\leqslant4$，
∴$m$的取值范围是$0\leqslant m\leqslant4$。

9. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-6x + m + 4 = 0$有两个实数根$x_{1},x_{2}$.
(1)求$m$的取值范围.
(2)若$x_{1},x_{2}$满足$3x_{1}=|x_{2}|+2$，求$m$的值.

答案： 9.解：
(1)
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 - 6x + m + 4 = 0$有两个实数根$x_1$，$x_2$，
∴$\Delta = (- 6)^2 - 4(m + 4)=20 - 4m\geqslant0$。解得$m\leqslant5$。
(2)
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 - 6x + m + 4 = 0$有两个实数根$x_1$，$x_2$，
∴$x_1 + x_2 = 6$①，$x_1x_2 = m + 4$②。
∵$3x_1 = |x_2| + 2$，
∴$x_1＞0$。当$x_2\geqslant0$时，有$3x_1 = x_2 + 2$③，联立①③，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 4$。
∴$8 = m + 4$。
∴$m = 4$，满足$m\leqslant5$。当$x_2＜0$时，有$3x_1 = - x_2 + 2$④，联立①④，解得$x_1 = - 2$，$x_2 = 8$(不合题意，舍去)。
∴$m$的值为$4$。