《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

1. 一款畅销商品的销售单价 $ m $(元)与销售该商品所获得的利润 $ w $(元)之间的函数关系式为 $ w = - 15(m - 34)^2 + 10140 $，由该关系式可以直接看出销售该商品所获得的最大利润为10140元，此时销售单价为34元。

答案： 1.10140 34

2. 某种商品每件进价为 20 元，调查表明，在某段时间内若以每件 $ x $ 元($ 20 \leq x \leq 30 $，且 $ x $ 为整数)出售，可售出 $ (30 - x) $ 件。若要使利润最大，则每件商品的售价应为25元。

答案： 2.25

3. 新考向 地域文化 打油茶是广西特有的一种民俗。某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为 50 元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量 $ y $（盒）与销售单价 $ x $（元）之间的函数图象如图所示。
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式。
(2) 当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润。

答案： 3.解：
(1)设函数关系式为y=kx+b，由题意，得$\begin{cases}60k+b=200,\\80k+b=100,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-5,\\b=500,\end{cases}$
∴y=-5x+500(50＜x＜100).
(2)设销售利润为w元，则w=(x-50)(-5x+500)=-5x^{2}+750x-25000=-5(x-75)^{2}+3125.
∵-5＜0，开口向下，50＜x＜100，
∴当x=75时，w有最大值，是3125.答：当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3125元.

4. 将进货价为 70 元/件的某种商品按零售价 100 元/件出售时，每天能卖出 20 件。已知这种商品的零售价在一定范围内每降低 1 元，其日销售量就增加 1 件(售价不低于进价)。为了促销，决定对其降价 $ x $ 元销售，则每件的利润为(30 - x)元，每日的销售量为(20 + x)件，每日的利润 $ y = $-x² + 10x + 600(写出自变量的取值范围)，所以当每件降价5元时，每日获得的利润最大，为625元。

答案： 4.(30-x)(20+x)-x²+10x+600(0≤x≤30，且x为整数)5625

5. (2023·南宁三中月考)某商店购进一批单价为 20 元的日用商品，如果以单价 30 元销售，那么半月内可以售出 400 件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 20 件。若设每件商品涨 $ x $ 元，销售利润为 $ y $ 元，则可列函数为 $ y = (30 + x - 20)(400 - 20x) $。对所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是 (A)

A.$ 30 + x - 20 $ 表示涨价后商品的单价
B.$ 20x $ 表示涨价后少售出商品的数量
C.$ 400 - 20x $ 表示涨价后售出商品的数量
D.$ 30 + x $ 表示涨价后商品的单价

答案： 5.A

6. 新考向 真实情境（2024·南宁天桃实验学校期中改编）秋风起，桂花飘香，到了吃螃蟹的最好季节。某商店销售一种成本为 10 元/千克的大闸蟹，若按 15 元/千克销售，一个月可售出 350 千克。经调查，销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 千克。设售价为 $ x(x \geq 15) $（元/千克），月销售量为 $ y $（千克）。
(1) 求出月销售量 $ y $ 与售价 $ x $ 之间的函数解析式。
(2) 当售价为多少时，会获得最大月销售利润？并求出最大月销售利润。

答案： 6.解：
(1)y=350-10×(x-15)=500-10x(15≤x≤50).
(2)设一个月的利润为w元，则w=(x-10)(500-10x)=-10x²+600x-5000=-10(x-30)²+4000.
∵-10＜0，开口向下，15≤x≤50，
∴当x=30时，w有最大值，最大值为4000.答：当售价为30元/千克时，会获得最大月销售利润，最大月销售利润是4000元.