《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

4. (2024·凉山州)如图，正比例函数 $ y_1 = \frac{1}{2}x $ 与反比例函数 $ y_2 = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象相交于点 $ A(m,2) $.
(1) 求反比例函数的解析式.
(2) 把直线 $ y_1 = \frac{1}{2}x $ 向上平移 $ 3 $ 个单位长度后与 $ y_2 = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象相交于点 $ B $，连接 $ AB $，$ OB $，求 $ \triangle AOB $ 的面积.

答案： 4. 解：
(1)
∵点A(m,2)在正比例函数$y_1 = \frac{1}{2}x$的图象上，
∴$2 = \frac{1}{2}m$，解得$m = 4$.
∴A(4,2).
∵点A(4,2)在反比例函数$y_2 = \frac{k}{x}$的图象上，
∴$k = 4 × 2 = 8$.
∴反比例函数的解析式为$y_2 = \frac{8}{x} (x ＞ 0)$.
(2)把直线$y_1 = \frac{1}{2}x$向上平移3个单位长度后得到直线$y = \frac{1}{2}x + 3$. 设平移后的直线与y轴相交于点D，连接AD. 由题意，得D(0,3)，BD//AO.
∴$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle ADO} = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$.

5. 如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，一次函数 $ y = -x + 4 $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 的图象相交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ x $ 轴相交于点 $ C $，连接 $ OB $，且 $ \triangle BOC $ 的面积为 $ 2 $.
(1) 求反比例函数的解析式.
(2) 将直线 $ AB $ 向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，则直线 $ AB $ 向下平移了几个单位长度?

答案： 5. 解：
(1)在$y = -x + 4$中，令$y = 0$，得$x = 4$.
∴C(4,0).
∴OC = 4. 过点B作BD⊥OC于点D.
∵$\triangle BOC$的面积为2，
∴$\frac{1}{2}OC \cdot BD = 2$，即$\frac{1}{2} × 4BD = 2$.
∴BD = 1.
∴点B的纵坐标为1. 将$y = 1$代入$y = -x + 4$，得$x = 3$，
∴B(3,1).
∵反比例函数$y = \frac{k}{x} (k ＞ 0)$的图象经过点B，
∴$k = 3 × 1 = 3$.
∴反比例函数的解析式为$y = \frac{3}{x}$.
(2)将直线AB向下平移$m (m ＞ 0)$个单位长度得到的直线的解析式为$y = -x + 4 - m$，联立$\begin{cases} y = \frac{3}{x}, \\ y = -x + 4 - m, \end{cases}$整理，得$x^2 + (m - 4)x + 3 = 0$. 由题意，得$\Delta = (m - 4)^2 - 4 × 1 × 3 = 0$，解得$m = 4 + 2\sqrt{3}$或$m = 4 - 2\sqrt{3}$.
∴直线AB向下平移了$4 + 2\sqrt{3}$或$4 - 2\sqrt{3}$个单位长度.