《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

1. (2024·南宁十四中期中)如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$CD$ 平分 $\angle ACB$ 交 $AB$ 于点 $D$，以点 $D$ 为圆心，$BD$ 为半径作 $\odot D$ 交 $AB$ 于点 $E$。求证：$\odot D$ 与 $AC$ 相切。

答案： 1.证明：过点D作DF⊥AC于点F.
∵∠B = 90°,
∴AB⊥BC.
∵CD平分∠ACB,
∴BD = DF.
∴DF是⊙D的半径.又
∵DF⊥AC,
∴⊙D与AC相切.

2. (2023·攀枝花)如图，$AB$ 为 $\odot O$ 的直径。如果圆上的点 $D$ 恰好使 $\angle ADC = \angle B$，求证：直线 $CD$ 与 $\odot O$ 相切。

答案： 2.证明：连接OD.
∵OA = OD,
∴∠A = ∠ODA.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB = 90°.
∴∠A + ∠B = 90°.
∵∠ADC = ∠B,
∴∠ODA + ∠ADC = 90°,即∠CDO = 90°.
∴OD⊥CD.又
∵OD是⊙O的半径,
∴直线CD与⊙O相切.

3. 如图，$C$ 是 $\odot O$ 上一点，点 $P$ 在直径 $AB$ 的延长线上，$\odot O$ 的半径为 $3$，$PB = 2$，$PC = 4$。求证：$PC$ 是 $\odot O$ 的切线。

答案： 3.证明：连接OC.
∵⊙O的半径为3,
∴OC = OB = 3.又
∵BP = 2,
∴OP = 5.在△OCP中,OC² + PC² = 3² + 4² = 5² = OP²,
∴△OCP为直角三角形,∠OCP = 90°.
∴OC⊥PC.又
∵OC是⊙O的半径,
∴PC是⊙O的切线.

4. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 与 $BC$ 相交于点 $E$，在 $AC$ 上取一点 $D$，使得 $DE = AD$。求证：$DE$ 是 $\odot O$ 的切线。

答案： 4.证明：连接OE,OD.在△AOD和△EOD中,$\begin{cases}OA = OE,\\DA = DE,\\OD = OD.\end{cases}$
∴△AOD≌△EOD(SSS).
∴∠OED = ∠BAC = 90°.
∴OE⊥DE.又
∵OE是⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线.