《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

【教材母题】（教材九上 P17 习题 T13）无论 $ p $ 取何值，方程 $ (x - 3)(x - 2) - p^2 = 0 $ 总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由。

答案： 无论p取何值，方程(x - 3)(x - 2) - p² = 0总有两个不等的实数根.理由：原方程可化为x² - 5x + 6 - p² = 0.
∵Δ = b² - 4ac = 25 - 4(6 - p²) = 1 + 4p² ≥ 1 ＞ 0.
∴无论p取何值，方程(x - 3)(x - 2) - p² = 0总有两个不等的实数根.

1.(2024·南宁一模)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + mx - 4 = 0 $ 的根的情况是(A)

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： 1.A

2. 关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + 2x - 1 = 0 $，其中 $ a $ 在数轴上的对应点如图所示，则此方程的根的情况是(C)


A.无法确定
B.无实根
C.有两个不相等的实数根
D.有两个相等的实数根

答案： 2.C

3. 已知函数 $ y = kx + b $ 的图象如图所示，则一元二次方程 $ x^2 - 2x + 1 - k = 0 $ 的根的情况是没有实数根。

答案： 3.没有实数根

4.(2024·北海一中月考)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2x - m = 0 $ 无实数根，则实数 $ m $ 的取值范围是(A)

A.$ m ＜ -1 $
B.$ m ＞ -1 $
C.$ m \leq -1 $
D.$ m \geq -1 $

答案： 4.A

5.(2024·南宁二中开学考)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - 1)x^2 + 4x + 1 = 0 $ 有实数根，则 $ m $ 的取值范围为(D)

A.$ m \leq 5 $
B.$ m ＜ 5 $
C.$ m ＜ 5 $ 且 $ m \neq 1 $
D.$ m \leq 5 $ 且 $ m \neq 1 $

答案： 5.D

6.【整体思想】若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - mx + m = 0 $ 有两个相等的实数根，则代数式 $ 3m^2 - 12m + 7 $ 的值为7。

答案： 6.7

7. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^2 - 4x + 3 = 0 $ 有实数根。
(1) 求 $ m $ 的取值范围。
(2) 若 $ m $ 为正整数，求出此时方程的根。

答案： 7.
(1)
∵关于x的一元二次方程mx² - 4x + 3 = 0有实数根，
∴$\begin{cases}m \neq 0, \\\Delta = (-4)^2 - 12m \geq 0.\end{cases}$解得$m \leq \frac{4}{3}$且$m \neq 0$.
∴m的取值范围为$m \leq \frac{4}{3}$且$m \neq 0$.
(2)
∵$m \leq \frac{4}{3}$且$m \neq 0$，m为正整数，
∴m = 1.
∴原方程为x² - 4x + 3 = 0，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$.
∴此时方程的根为$x_1 = 1$，$x_2 = 3$.

8. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + (2m + 1)x + m - 2 = 0 $。
(1) 求证：无论 $ m $ 取何值，此方程总有两个不相等的实数根。
(2) 当该方程根的判别式的值最小时，写出 $ m $ 的值，并求出此时方程的解。

答案： 8.
(1)证明：
∵Δ = (2m + 1)² - 4 × 1 × (m - 2) = 4m² + 4m + 1 - 4m + 8 = 4m² + 9 ＞ 0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根.
(2)由
(1)可知，当该方程根的判别式的值最小时，m = 0.把m = 0代入原方程，得x² + x - 2 = 0，解得x = -2或x = 1.