《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

——教材九下 P58 复习题 T8 的变式与应用
【教材母题】如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，且 CD⊥AB，垂足为 P，求证：PC² = PA·PB。

答案： 1. 首先，连接$AC$，$BC$：
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$CD\perp AB$，所以$\angle APC=\angle CPB = 90^{\circ}$。
2. 然后，证明$\triangle APC\sim\triangle CPB$：
在$\triangle APC$和$\triangle CPB$中，$\angle A+\angle ACP = 90^{\circ}$，$\angle BCP+\angle ACP = 90^{\circ}$，根据同角的余角相等，可得$\angle A=\angle BCP$。
且$\angle APC=\angle CPB$（已证）。
根据两角分别相等的两个三角形相似，所以$\triangle APC\sim\triangle CPB$。
3. 最后，根据相似三角形的性质：
由相似三角形的对应边成比例，对于$\triangle APC\sim\triangle CPB$，有$\frac{PC}{PB}=\frac{PA}{PC}$。
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），可得$PC^{2}=PA\cdot PB$。
综上，$PC^{2}=PA\cdot PB$得证。

1. 如图，在⊙O 中，弦 AB，CD 相交于点 M。
(1) 求证：AM·MB = CM·MD。
(2) 若 M 为 CD 的中点，且⊙O 的半径为 3，OM = 2，求 AM·MB 的值。

答案： 1.解：
(1) 证明：连接 AD,BC.
∵∠A = ∠C,∠D = ∠B,
∴△ADM∼△CBM.
∴$\frac{AM}{CM} = \frac{DM}{BM}. $
∴AM·MB = CM·MD.
(2) 连接 OC.
∵M 为CD 的中点,
∴OM⊥CD. 在 Rt△OMC 中,
∵OC = 3,OM = 2,
∴$MD =CM = \sqrt{OC^{2}-OM^{2}} = \sqrt{3^{2}-2^{2}} = \sqrt{5}. $由
(1) 知,AM·MB = CM·MD,
∴$AM·MB = \sqrt{5}×\sqrt{5} = 5.$

2. 如图，CD 是⊙O 的切线，点 C 在直径 AB 的延长线上。
(1) 求证：∠CAD = ∠BDC。

(2) 若 BD = $\frac{2}{3}$AD，AC = 3，求 CD 的长。

答案： 2.解：
(1) 证明：连接 OD.
∵OB = OD,
∴∠OBD = ∠ODB.
∵CD 是⊙O 的切线,OD 是⊙O 的半径,
∴∠ODB+∠BDC = 90°.
∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠ADB = 90°.
∴∠OBD+∠CAD = 90°.
∴∠CAD = ∠BDC.
(2)
∵∠C = ∠C,∠CAD = ∠CDB,
∴△CDB∼△CAD.
∴$\frac{BD}{AD} = \frac{CD}{AC}. $
∵$BD = \frac{2}{3}AD, $
∴$\frac{BD}{AD} = \frac{2}{3}. $
∴$\frac{CD}{AC} = \frac{2}{3}. $又
∵AC = 3,
∴CD = 2.

3. 如图，以△ABC 的边 AC 为直径的⊙O 交边 AB 于点 M，交边 BC 于点 N，连接 AN，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 P，∠BCP = ∠BAN。求证：
(1) △ABC 为等腰三角形。
(2) AM·CP = AN·CB。

答案： 3.证明：
(1)
∵AC 为⊙O 的直径,
∴∠ANC = 90°.
∵PC 是⊙O 的切线,
∴∠ACP = 90°.
∴∠BCP = ∠CAN.
∵∠BCP = ∠BAN,
∴∠BAN =∠CAN. 又
∵AN⊥BC,
∴∠ACB = ∠ABC.
∴AB = AC.
∴△ABC 为等腰三角形.
(2) 连接 MN. 由
(1) 可知,∠ABC = ∠ACB.
∵∠PBC +∠ABC = ∠AMN+∠ACN = 180°,
∴∠PBC = ∠AMN. 由
(1) 知∠BCP = ∠BAN,
∴△BPC∼△MNA.
∴$\frac{CB}{AM} = \frac{CP}{AN}, $即 AM·CP = AN·CB.