《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

知识储备：

答案： 本题可根据点与圆的位置关系，结合图形来确定点$P$到$\odot O$上的点的最小距离和最大距离。
当点$P$在$\odot O$内时：
最小距离：
此时点$P$到$\odot O$上的点的最小距离是$PB$，因为$PB = OB - OP$（$OB$为圆的半径$r$），即$PB=r - OP$。
最大距离：
点$P$到$\odot O$上的点的最大距离是$PA$，因为$PA = OA + OP$（$OA$为圆的半径$r$），即$PA=r + OP$。
当点$P$在$\odot O$外时：
最小距离：
点$P$到$\odot O$上的点的最小距离是$PB$，因为$PB = OP - OB$（$OB$为圆的半径$r$），即$PB=OP - r$。
最大距离：
点$P$到$\odot O$上的点的最大距离是$PA$，因为$PA = OP + OA$（$OA$为圆的半径$r$），即$PA=OP + r$。
故答案依次为：$\boldsymbol{PB}$；$\boldsymbol{PA}$；$\boldsymbol{PB}$；$\boldsymbol{PA}$ 。

1. (2023·钦州浦北三中月考)如图，点A的坐标为$(0,\sqrt{3})$，点B的坐标为$(1,0)$，将$\triangle OAB$绕原点O旋转得到$\triangle OCD$，其中A，B的对应点分别为C，D.当AD取得最小值时，BC的长为(B)


A.2
B.$1+\sqrt{3}$
C.$1-\sqrt{3}$
D.$\sqrt{7}$

答案： 1.B

2. (2023·南宁三十七中模拟)如图，在矩形ABCD中，$AB = 3$，将AB绕点B顺时针旋转$\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ})$得到BE，连接DE.若DE的最小值为2，则BC的长为4.

答案： 2.4

3. (2024·柳州期中)如图，在$Rt\triangle BAC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = 4$，$BC = 9$，将$\triangle BAC$绕点A顺时针旋转得到$\triangle B_{1}AC_{1}$，取AB的中点D，$B_{1}C_{1}$的中点E，则在旋转过程中，线段ED的最小值为2.5.

答案： 3.2.5

类型 2 定长(弦)对定角
基本图形：

条件：C为同一平面内线段AB外一动点，连接AC，BC，且$\angle ACB$为定值.
结论：
①当$\angle ACB$$90^{\circ}$时，点C的运动轨迹为优弧AB(不包含A，B两点)；
②当$\angle ACB$$90^{\circ}$时，点C的运动轨迹为以AB为直径的$\odot O$(不包含A，B两点)；
③当$\angle ACB$$90^{\circ}$时，点C的运动轨迹为劣弧AB(不包含A，B两点).

答案： 1. 对于①：
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角与圆心角的关系$\angle AOB = 2\angle ACB$（$O$为圆心）。当$\angle ACB\lt90^{\circ}$时，$\angle AOB\lt180^{\circ}$，点$C$的运动轨迹为优弧$AB$（不包含$A$，$B$两点）。
2. 对于②：
因为直径所对的圆周角是$90^{\circ}$，当$\angle ACB = 90^{\circ}$时，根据圆周角定理的推论（直径所对的圆周角是直角，$90^{\circ}$的圆周角所对的弦是直径），点$C$的运动轨迹为以$AB$为直径的$\odot O$（不包含$A$，$B$两点）。
3. 对于③：
当$\angle ACB\gt90^{\circ}$时，$\angle AOB\gt180^{\circ}$，点$C$的运动轨迹为劣弧$AB$（不包含$A$，$B$两点）。
故答案依次为：$\lt$；$=$；$\gt$。

$4. (2023·$贵港桂平市期末$)$如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 4，$$AD = 6，$$F$是边$BC$上的一个动点，连接$AF，$过点$B$作$BE\perp AF$于点$G，$交射线$CD$于点$E，$连接$CG，$则$CG$的最小值是　　$2\sqrt{10}-2$　　$.$　　

答案： $4.2\sqrt{10}-2$

5. (2024·南宁四校联考期中)如图，E是边长为4的正方形ABCD内部一点，$\angle EAD = \angle EBA$，将DE按逆时针方向旋转$90^{\circ}$得到DF，连接EF，则EF的最小值为(B)

A.$2\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{10}-2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}-2$
D.$\frac{7}{2}$

答案： 5.B