《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

14. 新考向 推理能力 (2024·浙江)已知二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ ($ b,c $ 为常数) 的图象经过点 $ A(-2,5) $，对称轴为直线 $ x = -\frac{1}{2} $.
(1) 求二次函数的解析式.
(2) 若点 $ B(1,7) $ 向上平移 2 个单位长度，向左平移 $ m(m ＞ 0) $ 个单位长度后，恰好落在 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象上，求 $ m $ 的值.
(3) 当 $ -2 \leq x \leq n $ 时，二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的最大值与最小值的差为 $ \frac{9}{4} $，求 $ n $ 的取值范围.

答案： 14.解：
(1)$\because$对称轴为直线$x=-\frac{b}{2}=-\frac{1}{2}$，$\therefore b=1$．$\therefore y=x^{2}+x+c$．又$\because$函数图象经过点$A(-2,5)$，$\therefore4-2+c=5$，解得$c=3$．$\therefore$二次函数的解析式为$y=x^{2}+x+3$．
(2)由题意可得，平移后点$B$的坐标为$(1-m,9)$．将$(1-m,9)$代入$y=x^{2}+x+3$，得$9=(1-m)^{2}+(1-m)+3$，解得$m=4$或$m=-1$(舍去)．$\therefore m=4$．
(3)$y=x^{2}+x+3=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4}$．分三种情况讨论：①当$n＜-\frac{1}{2}$时，最大值与最小值的差为$5-[(n+\frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4}]=\frac{9}{4}$，解得$n_{1}=n_{2}=-\frac{1}{2}$，不符合题意，舍去．②当$-\frac{1}{2}\leqslant n\leqslant1$时，最大值与最小值的差为$5-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$，符合题意；③当$n＞1$时，最大值与最小值的差为$(n+\frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4}-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$，解得$n_{1}=1$，$n_{2}=-2$，不符合题意，舍去．综上所述，$n$的取值范围为$-\frac{1}{2}\leqslant n\leqslant1$．

15. 新考向 过程性学习 综合与实践：
九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该小组对函数 $ y = |x^2 - 1| $ 的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整.
【数据整理】
(1) ①列表：下表是 $ x,y $ 的几组对应值，其中 $ m = $$\frac{3}{4}$，$ n = $$\frac{3}{4}$；

②描点：根据表中的数值描点 $ (x,y) $，请补充描出点 $ (-\frac{1}{2},m) $，$ (\frac{1}{2},n) $；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整.
【探索发现】
(2) 请观察图象，直接写出当 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大时，$ x $ 的取值范围为$-1＜x＜0$或$x＞1$.
(3) 除了上述增减性，请你再写出两条该函数的图象特征或性质：
①函数图象是轴对称图形；
②函数值$y$都是非负数.
【拓展应用】
(4) 点 $ (m,a) $ 与 $ (n,b) $ 在函数图象上，且 $ |n| ＜ |m| ＜ 1 $，则 $ a $ 与 $ b $ 的大小关系是$a＜b$.

答案：
15.解：
(1)①$\frac{3}{4}$ $\frac{3}{4}$ ②补充描点如图所示 ③补全图象如图所示

(2)$-1＜x＜0$或$x＞1$
(3)①函数图象是轴对称图形 ②函数值$y$都是非负数
(4)$a＜b$