《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

9. (2024·广安)若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m + 1)x^{2}-2x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是(A)

A.$m ＜ 0$ 且 $m\neq -1$
B.$m\geq 0$
C.$m\leq 0$ 且 $m\neq -1$
D.$m ＜ 0$

答案： 9.A

【变式】若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1)x^{2}+2x - 2 = 0$ 没有实数根，则 $k$ 的取值范围为 k＜1/2.

答案： 【变式】k＜1/2

10. (本课时 T9 变式) 若关于 $x$ 的方程 $kx^{2}-3x + 2 = 1$ 有实数根，求 $k$ 的取值范围.

答案： 10.解：①当k=0时，原方程为-3x+2=1，解得x=1/3.
∴k=0符合题意;②当k≠0时，此时原方程为一元二次方程.化简，得kx²-3x+1=0.
∴Δ=(-3)²-4k≥0，解得k≤9/4.
∴k≤9/4且k≠0.综上所述，k的取值范围是k≤9/4.

11. (2023·河南)关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx - 8 = 0$ 的根的情况是(A)

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： 11.A

12. (2023·广安)已知 $a,b,c$ 为常数，点 $P(a,c)$ 在第四象限，则关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 的根的情况是(A)

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断

答案： 12.A

13. 已知关于 $x$ 的方程 $kx^{2}+(1 - k)x - 1 = 0$.
(1) 当 $k = 1$ 时，方程的解为 x₁=1,x₂=-1.
(2) 当 $k = -1$ 时，判断方程根的情况.
(3) 求证：当 $k\neq 0$ 时，方程总有两个实数解.

答案： 13.解：
(1)x₁=1,x₂=-1
(2)当k=-1时，原方程为-x²+2x-1=0，Δ=2²-4×(-1)×(-1)=0，
∴方程有两个相等的实数解.
(3)证明：当k≠0时，原方程为一元二次方程，则Δ=(1-k)²-4k×(-1)=k²+2k+1=(k+1)²≥0，
∴方程总有两个实数解.

14. 已知 $a,b,c$ 分别是三角形的三边长，且关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + b)x^{2}+2cx + (a - b) = 0$ 有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状，并说明理由.

答案： 14.解：此三角形是直角三角形.理由如下：
∵关于x的一元二次方程(a+b)x²+2cx+(a-b)=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(2c)²-4(a+b)(a-b)=0，即4(c²-a²+b²)=0.
∴c²-a²+b²=0，即a²=c²+b².
∵a,b,c是三角形的三边长，
∴此三角形是直角三角形.

15. 【材料背景】定义：若一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq 0)$ 满足 $b = a + c$，则称该方程为“和谐方程”.
【概念识别】
(1) 下列属于和谐方程的是 ①③.(填序号)
① $x^{2}+2x + 1 = 0$；② $x^{2}-2x + 1 = 0$；③ $x^{2}+x = 0$.
【灵活运用】
(2) 已知一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq 0)$ 为“和谐方程”，且该方程有两个相等的实数根，求 $a,c$ 的数量关系.

答案： 15.解：
(1)①③
(2)
∵一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)为“和谐方程”，
∴b=a+c.
∵和谐方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，
∴Δ=b²-4ac=(a+c)²-4ac=(a-c)²=0.
∴a=c.