《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

11. 若函数$y=(m - 1)x^{2}-6x+\frac{3}{2}m$的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为(C)

A.-2或3
B.-2或-3
C.1或-2或3
D.1或-2或-3

答案： 11.C

12. 新考向 推理能力 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的最小值为2，则(B)

A.$a\gt0$，$b^{2}-4ac = 0$
B.$a\gt0$，$b^{2}-4ac\lt0$
C.$a\lt0$，$b^{2}-4ac = 0$
D.$a\lt0$，$b^{2}-4ac\gt0$

答案： 12.B

13. 二次函数$y = ax^{2}+bx$的图象如图所示，若一元二次方程$ax^{2}+bx + m = 0$有实数根，则m的最大值为(A)

A.3
B.-3
C.$\frac{3}{2}$
D.$-\frac{3}{2}$

答案： 13.A

14. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象如图所示，下列说法错误的是(D)

A.$a\lt0$，$b\gt0$
B.$b^{2}-4ac\gt0$
C.方程$ax^{2}+bx + c = 0$的解是$x_{1}=5$，$x_{2}=-1$
D.不等式$ax^{2}+bx + c\gt0$的解集是$0\lt x\lt5$

答案： 14.D

15. 已知直线$l:y = kx + 1$与抛物线$y = x^{2}-4x$。
(1) 求证：直线l与该抛物线总有两个交点。
(2) 设直线l与该抛物线的两个交点为A，B，O为原点，当$k = - 2$时，求$\triangle OAB$的面积。

答案： 15.解：
(1)证明：令$x^2-4x=kx+1$,则$x^2-(4+k)x-1=0$. $\because \Delta=[-(4+k)]^2-4×1×(-1)=(4+k)^2+4＞0$, $\therefore$直线$l$与该抛物线总有两个交点.
(2)设点A,B的坐标分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$,直线$l$与$y$轴交点为$C(0,1)$.由
(1)知,$x_1+x_2=4+k=2,x_1x_2=-1$. $\therefore (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4+4=8$. $\therefore |x_1-x_2|=2\sqrt{2}$.又$\because OC=1$, $\therefore S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}OC\cdot |x_1-x_2|=\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$.

(1)若直线 $ y_1 = kx + h $ 与抛物线 $ y_2 = ax^2 + bx + c $ 没有交点，则方程 $ ax^2 + bx + c = kx + h $ 中 $ \Delta ＜ 0 $；
(2)若直线 $ y_1 = kx + h $ 与抛物线 $ y_2 = ax^2 + bx + c $ 有一个交点，则方程 $ ax^2 + bx + c = kx + h $ 中 $ \Delta $ =0；
(3)如图，直线 $ y_1 = kx + h $ 与抛物线 $ y_2 = ax^2 + bx + c $ 交于点 $ A(m, n) $，$ B(p, q) $，则方程 $ ax^2 + bx + c = kx + h $ 的根为 $ x_1 = m $，$ x_2 = p $，不等式 $ y_1 ＜ y_2 $ 的解集为 $ x ＜ m $ 或 $ x ＞ p $，不等式 $ y_1 ＞ y_2 $ 的解集为 m＜x＜p。

答案：
(2)=0；
(3)m＜x＜p

1. 如图，抛物线 $ y_1 = ax^2 $ 与直线 $ y_2 = bx + c $ 的两个交点坐标分别为 $ A(m, -\frac{9}{4}) $，$ B(1, -1) $。
(1)$ m $ 的值为 $- \frac {3}{2}$，方程 $ ax^2 - bx - c = 0 $ 的解是 $x _ {1} = - \frac {3}{2},x _ {2} = 1$。
(2)不等式 $ y_1 \leq y_2 $ 的解集是 $x\leq - \frac {3}{2} 或 x\geq 1$。

答案： $1.$　　
$(1)m$的值为$- \frac {3}{2}，$方程$ ax^2 - bx - c = 0 $的解是$x _ {1} = - \frac {3}{2},x _ {2} = 1；$　　
$(2)$不等式$ y_1 \leq y_2 $的解集是$x\leq - \frac {3}{2} $或$ x\geq 1$　　

2. 已知二次函数 $ y_1 = x^2 + bx - 3 $ 的图象与直线 $ y_2 = x + 1 $ 交于点 $ A(-1, 0) $，$ C(4, m) $。
(1)$ b = $ -2，$ m = $ 5。
(2)将直线 $ AC $ 沿 $ y $ 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后的直线解析式。

答案： 2.
(1)b = -2，m = 5；
(2)设直线AC平移后的解析式为y = x + k. 联立$ \begin{cases} y = x + k, \\ y = x ^ {2} - 2x - 3, \end{cases} $得$ x ^ {2} - 3x - 3 - k = 0. \because $平移后的直线与抛物线只有一个公共点$,\therefore \Delta = (-3) ^ {2} - 4(-k - 3) = 0, $解得$ k = - \frac {21}{4}. \therefore $平移后的直线解析式为$ y = x - \frac {21}{4}.$