《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

8. (2024·南宁武鸣区期中节选)如图，已知抛物线$y = ax^2 + bx + 3(a\neq0)$经过$A(1,0)$，$B(-3,0)$两点。
(1) 求$a$，$b$的值。
(2) 设$P$为抛物线的对称轴上的一个动点，求使$\triangle BPC$为直角三角形的点$P$的坐标。

答案： 8.解:
(1)由题意，得$y=a(x - 1)(x + 3)=a(x^{2}+2x - 3)=ax^{2}+bx + 3$，$\therefore\begin{cases}-3a = 3\\2a = b\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-1\\b=-2\end{cases}$。
(2)由
(1)知，抛物线的解析式为$y=-x^{2}-2x + 3$，$\therefore$对称轴为直线$x=-1$。设$P(-1,t)$。$\because B(-3,0)$，$C(0,3)$，$\therefore BC^{2}=18$，$PB^{2}=(-1 + 3)^{2}+t^{2}=4 + t^{2}$，$PC^{2}=(-1)^{2}+(t - 3)^{2}=t^{2}-6t + 10$。
①若点$B$为直角顶点，则$BC^{2}+PB^{2}=PC^{2}$，即$18 + 4 + t^{2}=t^{2}-6t + 10$，解得$t=-2$。
②若点$C$为直角顶点，则$BC^{2}+PC^{2}=PB^{2}$；即$18+t^{2}-6t + 10=4 + t^{2}$，解得$t = 4$。
③若点$P$为直角顶点，则$PB^{2}+PC^{2}=BC^{2}$，即$4 + t^{2}+t^{2}-6t + 10=18$，解得$t=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$。
综上所述，点$P$的坐标为$(-1,-2)$或$(-1,4)$或$(-1,\frac{3+\sqrt{17}}{2})$或$(-1,\frac{3-\sqrt{17}}{2})$。

9. 如图，抛物线$y = -x^2 - 2x + 3$与$x$轴交于点$A$，$B$，与$y$轴交于点$C$，点$Q$是抛物线的对称轴$l$上的一个动点，在抛物线上是否存在点$P$，使得以点$A$，$P$，$C$，$Q$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点$P$的坐标；若不存在，说明理由。

答案：
9.解：存在。在$y=-x^{2}-2x + 3$中，令$y = 0$，则$-x^{2}-2x + 3 = 0$，解得$x = 1$或$x=-3$，$\therefore A(-3,0)$，$B(1,0)$。在$y=-x^{2}-2x + 3$中，令$x = 0$，则$y = 3$，$\therefore C(0,3)$。设$P(a,b)$。
①当$AC$为平行四边形的边时，$PQ// AC$，且$PQ = AC$，如图1，过点$P$作对称轴的垂线，垂足为$G$，设$AC$交对称轴于点$H$，则$\angle AHG=\angle ACO=\angle PQG$，$\angle PGQ=\angle AOC = 90^{\circ}$。$\therefore\triangle PQG\cong\triangle ACO(AAS)$。$\therefore PG = AO = 3$。$\therefore$点$P$到对称轴的距离为$3$。$\because y=-x^{2}-2x + 3=-(x + 1)^{2}+4$，$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=-1$。$\because P(a,b)$，$\therefore|a + 1| = 3$，解得$a = 2$或$a=-4$。当$x = 2$时，$y=-5$，当$x=-4$时，$y=-5$，$\therefore$点$P$的坐标为$(2,-5)$或$(-4,-5)$；
②当$AC$为平行四边形的对角线时，如图2，设$AC$的中点为$M$。$\because A(-3,0)$，$C(0,3)$，$\therefore M(-\frac{3}{2},\frac{3}{2})$。$\because$点$Q$在对称轴上，$\therefore$点$Q$的横坐标为$-1$。$\because$点$P$的横坐标为$a$，$\therefore a+(-1)=2×(-\frac{3}{2})=-3$。$\therefore a=-2$。当$x=-2$时，$y = 3$。$\therefore P(-2,3)$。
综上所述，点$P$的坐标为$(2,-5)$或$(-4,-5)$或$(-2,3)$。