《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

11. 如果一个一元二次方程的二次项是$ 2x^{2} $,配方后整理得$ (x-\frac{1}{2})^{2}=1 $,那么它的一次项和常数项分别是 (C)

A.$ -x,-\frac{3}{4} $
B.$ -2x,-\frac{1}{2} $
C.$ -2x,-\frac{3}{2} $
D.$ x,-\frac{3}{2} $

答案： 11.C

12. 新考向 新定义问题 规定:$ a\otimes b=(a+b)b $,如:$ 2\otimes 3=(2+3)× 3=15 $. 若$ 2\otimes x=3 $,则$ x= $1或 - 3.

答案： 12.1或 - 3

13. 若一元二次方程$ x^{2}-4x-1596=0 $的两根为$ a,b $,且$ a＞b $,则$ 3a+b $的值为88.

答案： 13.88

14. 用配方法解下列方程:
(1) $ x^{2}-6x+1=4x-8 $.
(2) $ 2x(x-5)=2x+6 $.

答案： 14.解：$(1)x^2 - 10x = -9,x^2 - 10x + 25 = 25 - 9，$即$(x - 5)^2 = 16. $
∴$x - 5 = \pm4. $
∴$x_1 = 9,x_2 = 1.(2)2x^2 - 12x = 6,x^2 - 6x = 3,x^2 - 6x + 9 = 3 + 9，$即$(x - 3)^2 = 12. $
∴$x - 3 = \pm2\sqrt{3}. $
∴$x_1 = 3 + 2\sqrt{3},x_2 = 3 - 2\sqrt{3}.$

15. 已知方程$ x^{2}-8x+m=0 $可以通过配方写成$ (x-n)^{2}=6 $的形式,求方程$ x^{2}+8x+m=6 $的解.

答案： 15.解：
∵$x^2 - 8x + m = 0，$
∴$(x - 4)^2 = 16 - m. $
∵方程$x^2 - 8x + m = 0$可以通过配方写成$(x - n)^2 = 6$的形式，
∴16 - m = 6，解得m = 10.把m = 10代入$x^2 + 8x + m = 6，$得$x^2 + 8x + 10 = 6.$配方，得$x^2 + 8x + 16 = 6 - 10 + 16，$即$(x + 4)^2 = 12.$解得$x_1 = -4 + 2\sqrt{3},x_2 = -4 - 2\sqrt{3}.$

$16. $新考向$ $阅读理解$ $探究与运用$:$　　
$【$规律猜想$】$观察下列方程及其解的特征$:$　　
$① x+\frac{1}{x}=2 $的解为$ x_{1}=x_{2}=1 ;$　　
$② x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2} $的解为$ x_{1}=2,x_{2}=\frac{1}{2} ;$　　
$③ x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3} $的解为$ x_{1}=3,x_{2}=\frac{1}{3} ;$　　
$……$　　
解答下列问题$:$　　
$(1)$猜想$:$方程$ x+\frac{1}{x}=\frac{26}{5} $的解为　　$x_1 = 5,x_2 = \frac{1}{5}$　　$.$　　
$(2)$猜想$:$关于$ x $的方程$ x+\frac{1}{x}= $　　$\frac{a^2 + 1}{a}$　　的解为$ x_{1}=a,x_{2}=\frac{1}{a}(a\neq 0) .$　　
$【$推理论证$】$　　
$(3)$请以解方程$ x+\frac{1}{x}=\frac{26}{5} $为例$,$验证$(1)$中猜想的正确性$.$下面给出了验证的部分过程$,$请把剩余部分补充完整$.$　　
解$:$原方程可化为$ x^{2}+1=\frac{26}{5}x .$　　

答案： 16.解：$(1)x_1 = 5,x_2 = \frac{1}{5} (2)\frac{a^2 + 1}{a} (3)$补全过程如下：
∴$x^2 - \frac{26}{5}x + 1 = 0. $
∴$(x - \frac{13}{5})^2 - \frac{144}{25} = 0，$即$(x - \frac{13}{5})^2 = \frac{144}{25}. $
∴$x - \frac{13}{5} = \pm\frac{12}{5}. $
∴$x_1 = 5,x_2 = \frac{1}{5}.$