《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

【例】二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的图象如图所示，对称轴是直线 $ x = 1 $，根据函数图象用“$ ＞ $”“$ ＜ $”“$ \geqslant $”“$ \leqslant $”或“$ = $”填空。

(1)根据函数图象判断 $ a,b,c $ 类：
① $ a $＜ $ 0 $，$ b $＞ $ 0 $，$ c $＞ $ 0 $；
(2)$ b^{2}-4ac $ 类：
② $ b^{2}-4ac $＞ $ 0 $；
(3)$ -\dfrac{b}{2a},2a + b $ 类：
③ $ -\dfrac{b}{2a} $＞ $ 0 $；④ $ 2a + b $= $ 0 $；
(4)当 $ x = \pm1,\pm2 $ 类：
⑤ $ a + b + c $＞ $ 0 $，$ a - b + c $＜ $ 0 $；
⑥ $ 4a + 2b + c $＜ $ 0 $，$ 4a - 2b + c $＞ $ 0 $；
(5)最值：
⑦ $ a + b + c $≥ $ am^{2}+bm + c $($ m $ 为任意实数)。

答案：
(1)①＜ ＞ ＞
(2)②＞
(3)③＞ ④=
(4)⑤＞ ＜ ⑥＜ ＞
(5)⑦≥

1. (2024·甘孜州)二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a＞0) $ 的图象如图所示，给出下列结论：① $ c ＜ 0 $；② $ -\dfrac{b}{2a}＞0 $；③当 $ -1 ＜ x ＜ 3 $ 时，$ y ＜ 0 $。其中所有正确结论的序号是(D)

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

答案： 1.D

2. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的部分图象如图所示，则下列结论中不正确的是(C)

A.$ abc＞0 $
B.$ 2a - b = 0 $
C.$ a - b + c\leqslant am^{2}+bm + c $
D.$ 9a - 3b + c = 0 $

答案： 2.C

3. (2024·泰安)如图所示的是二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的部分图象，该函数图象的对称轴是直线 $ x = 1 $，图象与 $ y $ 轴交点的纵坐标是 $ 2 $。下列结论：① $ 2a + b = 0 $；②方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 一定有一个根在 $ -2 $ 和 $ -1 $ 之间；③方程 $ ax^{2}+bx + c-\dfrac{3}{2}=0 $ 一定有两个不相等的实数根；④ $ b - a ＜ 2 $。其中正确的有(B)

A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个

答案： 3.B

4. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的部分图象如图所示，其对称轴为直线 $ x = -\dfrac{1}{2} $，且与 $ x $ 轴的一个交点坐标为 $ (-2,0) $。下列结论：① $ c ＜ 0 $；② $ a = b $；③ $ a - b + c ＞ 0 $；④ $ 2a + c = 0 $。其中正确的是①②④。(填序号)

答案： 4.①②④

5. (2024·南宁武鸣区期中)已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的图象如图所示，且关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c - m = 0 $ 没有实数根，有下列结论：① $ b^{2}-4ac＞0 $；② $ abc ＜ 0 $；③ $ m ＜ -3 $；④ $ 3a + b ＞ 0 $。其中正确的有3个。

答案： 5.3