《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

11. (2024·南宁期末)如图，E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点，把△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABF.
(1) 旋转后点 D 与点B重合.
(2) 尺规作图：作出旋转后的图形，其中点 E 的对应点为点 F(不写作法，标明字母，保留作图痕迹).
(3) 若∠DAE=20°，求∠AFB 的度数.

答案：
11.解：
(1)B
(2)如图所示

(3)
∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴ ∠D = 90°.
∵ ∠DAE = 20°,
∴ ∠AED = 70°. 由旋转的性质，得∠AFB = ∠AED = 70°.

12. (2024·南宁民族中学月考)如图，在△ABC 中，AB=AC=2，∠BAC=45°，△AEF 是由△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到的，连接 BE，CF 相交于点 D.
(1) 求证：BE=CF.
(2) 当四边形 ABDF 为菱形时，求 CD 的长.

答案： 12.解：
(1)证明：由旋转可知，AE = AF = AB = AC = 2, ∠EAF = ∠BAC = 45°.
∴ ∠BAC + ∠CAE = ∠EAF + ∠CAE，即 ∠BAE = ∠CAF. 在△ABE 和△ACF 中，$\begin{cases}AB = AC,\\ \angle BAE = \angle CAF,\\ AE = AF,\end{cases} $
∴ △ABE ≌ △ACF(SAS).
∴ BE = CF.
(2)
∵ 四边形 ABDF 为菱形，
∴ DF = AF = 2, DF // AB.
∴ ∠ACF = ∠BAC = 45°.
∴ △ACF 为等腰直角三角形.
∴$ CF = \sqrt{2}AF = 2\sqrt{2}. $
∴$ CD = CF - DF = 2\sqrt{2} - 2.$

(2024·广西大学附中 期中T18)如图，在等边三角形 $ ABC $ 中，$ AB = 6 $，$ P $ 是边 $ BC $ 上的动点，将 $ \triangle ABP $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 60^{\circ} $ 得到 $ \triangle ACQ $，$ D $ 是边 $ AC $ 的中点，连接 $ DQ $，则 $ DQ $ 的最小值是______.

【分析】第一步：由旋转的性质得到相等的角、相等的线段. 根据旋转的性质，得 $ \angle BAP = \angle $______，$ AP = $______.
第二步：构造旋转基本模型，转化线段. 在等边三角形 $ ABC $ 中，已知 $ AB = AC $，$ D $ 是边 $ AC $ 的中点，则可取______的中点 $ E $，构造 $ \triangle $______$ \cong \triangle ADQ $. 则 $ DQ = $______.
第三步：求最值. 求 $ DQ $ 的最小值即是求 $ EP $ 的最小值，$ E $ 为定点，点 $ P $ 在线段 $ BC $ 上移动，则当 $ EP \perp BC $ 时，$ EP $ 的长度最小. 此时 $ BE = \frac{1}{2}AB = $______，$ BP = \frac{1}{2}BE = $______，由勾股定理，得 $ EP = $______.

答案： $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

1. (2024·广西模拟)
如图，在正方形 $ ABCD $ 中，$ AB = 2 $，$ G $ 是 $ BC $ 的中点，$ E $ 是正方形内一个动点，且 $ EG = 1 $，连接 $ DE $，将线段 $ DE $ 绕点 $ D $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到线段 $ DF $，连接 $ CF $，则线段 $ CF $ 长的最小值为______.

答案： 1.$\sqrt{5}-1$

2. (2024·广西大学附中月考)
如图，在等边三角形 $ ABC$ 中，$ AC = 6$，$ CD \perp AB $，$ E$ 是线段 $ CD $ 上一动点，连接 $ AE $，将线段 $ AE $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ 60^{\circ} $，得到线段 $ AP $，连接 $ DP $，则$ DP $ 长的最小值为.

答案： 2.$\frac{3}{2}$