《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

(2023·南宁十八中期中)阅读下面材料,并解决问题:
(1)如图 1,等边三角形 $ ABC $ 内有一点 $ P $,若点 $ P $ 到顶点 $ A,B,C $ 的距离分别为 $ 3,4,5 $,求 $ \angle APB $ 的度数.
为了解决本题,我们可以将 $ \triangle ABP $ 绕顶点 $ A $ 旋转到 $ \triangle ACP' $ 处,此时 $ \triangle ACP' \cong \triangle ABP $,这样就可以利用旋转变换,将三条线段 $ PA,PB,PC $ 转化到一个三角形中,从而求出 $ \angle APB= $150°.
(2)基本运用:
请运用第(1)问的思想方法,解答下面的问题:如图 2,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle CAB=90^{\circ},AB=AC,E,F $ 为 $ BC $ 上的点,且 $ \angle EAF=45^{\circ} $.求证: $ EF^{2}=BE^{2}+FC^{2} $.
(3)能力提升:
如图 3,在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB=90^{\circ},AC=1,\angle ABC=30^{\circ},O $ 为 $ Rt \triangle ABC $ 内一点,连接 $ AO,BO,CO $,且 $ \angle AOC=\angle COB=\angle BOA=120^{\circ} $,求 $ OA+OB+OC $ 的值.

答案： $(1)150^{\circ} (2)$证明：把$\triangle ABE$绕点A逆时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ACE'，$连接E'F.由旋转的性质，得AE'=AE，CE'=BE，$\angle CAE'=\angle BAE，$$\angle ACE'=\angle B，$$\angle EAE'=90^{\circ}. \because\angle EAF = 45^{\circ}，$$\therefore\angle E'AF=\angle CAE'+\angle CAF=\angle BAE + \angle CAF=\angle BAC-\angle EAF = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}. \therefore\angle EAF=\angle E'AF. $在$\triangle EAF$和$\triangle E'AF$中，$\begin{cases}AE = AE'\\\angle EAF=\angle E'AF\\AF = AF\end{cases} \therefore\triangle EAF\cong\triangle E'AF(SAS). \therefore E'F = EF. \because\angle CAB = 90^{\circ}，$AB = AC，$\therefore\angle B=\angle ACB = 45^{\circ}. \therefore\angle E'CF=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}.$在$Rt\triangle E'CF$中，由勾股定理，得$E'F^{2}=CE'^{2}+FC^{2}，$即$EF^{2}=BE^{2}+FC^{2}.(3)$将$\triangle AOB$绕点B顺时针旋转$60^{\circ}$至$\triangle A'O'B$处，连接$OO'. \because$在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}，$AC = 1，$\angle ABC =$
$30^{\circ}，$$\therefore AB = 2. \therefore BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{3}.$由旋转的性质，得$\angle ABA'=\angle OBO'=60^{\circ}，$A'B = AB = 2，BO = BO'，$A'O'=AO. \therefore\triangle BOO'$是等边三角形，$\angle A'BC=\angle ABC+\angle ABA'=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}. \therefore BO = OO'，$$\angle BOO'=\angle BO'O = 60^{\circ}. \because\angle AOC=\angle COB=\angle BOA = 120^{\circ}，$$\therefore\angle COB+\angle BOO'=\angle BO'A'+\angle BO'O = 120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}. \therefore C，$O，A'，O'四点共线.在$Rt\triangle A'BC$中，$A'C=\sqrt{BC^{2}+A'B^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+2^{2}}=\sqrt{7}，$$\therefore OA + OB + OC=A'O'+OO'+OC = A'C=\sqrt{7}.$