《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

11. 如图，在三角形纸片ABC中，∠A=76°，∠B=34°.将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是(C)


A.①②
B.②④
C.①③
D.③④

答案： 11.C

12. (2024·河南)如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为OC的中点，EF//AB交BC于点F.若AB=4，则EF的长为(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{4}{3}$
D.2

答案： 12.B

13. (教材九下P35例2变式)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E.若OE=3，OB=5，则CD的长为9.6.

答案： 13.9.6

14. 如图，在□ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.
（1）求证：△ADF∽△DEC.

（2）若AB=4，AD=3$\sqrt{3}$，AF=2$\sqrt{3}$，求AE的长.

答案： 14.解：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AD//BC.
∴∠B+∠C=180°,∠ADF=∠DEC.
∵∠AFD+∠AFE=180°,∠AFE=∠B,
∴∠AFD=∠C.
∴△ADF∽△DEC.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=4.由
(1)知,△ADF∽△DEC,
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AF}{CD}.$
∴$DE=\frac{AD\cdot CD}{AF}=\frac{3\sqrt{3}×4}{2\sqrt{3}}=6.$在Rt△ADE中,由勾股定理,得$AE=\sqrt{DE^{2}-AD^{2}}=\sqrt{6^{2}-(3\sqrt{3})^{2}}=3.$

15. 综合与探究：
如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.
【初步探究】
(1)如图1，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE.
【类比延伸】
(2)如图2，当点Q在线段CA的延长线上时.
①求证：△BPE∽△CEQ.
②当BP=2，CQ=9时，BC的长为$6\sqrt{2}$.

答案： 15.解：
(1)证明：
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=45°,AB=AC.
∵AP=AQ,
∴BP=CQ.
∵E是BC的中点,
∴BE=CE.在△BPE和△CQE中$,\begin{cases}BE=CE,\\ ∠B=∠C,\\ BP=CQ.\end{cases}$
∴△BPE≌△CQE(SAS).
(2)①证明：
∵$\begin{cases}BP=CQ,\\ ∠BEF=∠C+∠CQE,\\ ∠BEF=∠BEP+∠DEF,\end{cases}$且∠C=∠DEF=45°,
∴∠BEP=∠CQE.又
∵∠B=∠C,
∴$△BPE∽△CEQ.②6\sqrt{2}$