《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

12. 如图，多边形 $ABCDE$ 为 $\odot O$ 的内接正五边形，$PA$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$，则 $\angle PAB =$(B)

A.$18^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$54^{\circ}$
D.$72^{\circ}$
]

答案： 12.B

13. 如图，正方形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，$E$ 为 $\overset{\frown}{BC}$ 上一点，连接 $BE$。若 $\angle CBE = 15^{\circ}$，$BE = 5$，则正方形 $ABCD$ 的边长为(B)

A.7
B.$5\sqrt{2}$
C.$\sqrt{10}$
D.$2\sqrt{5}$

答案： 13.B

14. 若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$。

答案： 14.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

15. (2024·南宁新民中学开学考)如图，在正六边形 $OABCDE$ 中，以点 $O$ 为原点建立平面直角坐标系，边 $OA$ 落在 $x$ 轴上。若点 $A$ 的坐标为 $(4,0)$，则点 $B$ 的坐标为$(6,2\sqrt{3})$。

答案： 15.$(6,2\sqrt{3})$

16. 如图，$\odot O$ 是正方形 $ABCD$ 与正六边形 $AEFCGH$ 的外接圆。
(1)正方形 $ABCD$ 与正六边形 $AEFCGH$ 的边长之比为$\sqrt{2}:1$。
(2)连接 $BE$，$BE$ 是否为 $\odot O$ 的内接正 $n$ 边形的一边？如果是，求出 $n$ 的值；如果不是，请说明理由。
]

答案： 16.
(1)$\sqrt{2}:1$　
(2)$BE$是$\odot O$的内接正十二边形的一边.理由:连接$OA,OB,OE$.在正方形$ABCD$中，$\angle AOB=90^{\circ}$，在正六边形$AEFCGH$中，$\angle AOE=60^{\circ}$，
∴$\angle BOE=30^{\circ}$.
∵$\frac{360^{\circ}}{30^{\circ}}=12$，
∴$BE$是$\odot O$的内接正十二边形的一边，$n=12$.

17. 综合与探究：
【问题背景】如图，$M$，$N$ 分别是半径为 $R$ 的 $\odot O$ 的内接正三角形 $ABC$，正方形 $ABCD$，正五边形 $ABCDE$，$\cdots$，正 $n$ 边形 $ABCDE\cdots$ 的边 $AB$，$BC$ 上的点，且 $BM = CN$，连接 $OM$，$ON$。
【观察分析】
(1)图 1 中 $\angle MON$ 的度数为$120^{\circ}$，$S_{四边形OMBN} =$$\frac{\sqrt{3}}{4}R^{2}$(用含 $R$ 的式子表示)。
(2)图 2 中 $\angle MON$ 的度数为$90^{\circ}$，图 3 中 $\angle MON$ 的度数为$72^{\circ}$。
(3)【探索归纳】
①$\angle MON$ 的度数与正 $n$ 边形的边数 $n$ 的关系是$\angle MON=\frac{360^{\circ}}{n}$(直接写出结果)。
【解决问题】
②当 $n = 8$，$R = 2$ 时，求 $S_{四边形OMBN}$ 的值。

答案：
17.
(1)$120^{\circ}$　$\frac{\sqrt{3}}{4}R^{2}$　
(2)$90^{\circ}$　$72^{\circ}$　
(3)①$\angle MON=\frac{360^{\circ}}{n}$　②易证$S_{四边形CMBN}=S_{\triangle OBC}$，当$n=8$时，$\angle BOC=\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$，如图，过点$B$作$BH\perp OC$于点$H$.则$BH=\frac{\sqrt{2}}{2}OB=\frac{\sqrt{2}}{2}R=\sqrt{2}$.

∴$S_{四边形CMBN}=S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}OC\cdot BH=\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\sqrt{2}$.