《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$在$AC$上，$DE// BC$，$DF// AB$。
(1)求证：$\triangle DFC\backsim\triangle AED$。
(2)若$CD=\frac{1}{3}AC$，求$\frac{S_{\triangle DFC}}{S_{\triangle AED}}$的值。

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答案： 10.解：
(1)证明：
∵DF//AB，DE//BC，
∴∠DFC = ∠ABF，∠AED = ∠ABF.
∴∠DFC = ∠AED.又
∵DE//BC，
∴∠DCF = ∠ADE，
∴△DFC∽△AED.
(2)
∵$CD = \frac{1}{3}AC，$
∴$\frac{CD}{DA}=\frac{1}{2}.$由
(1)知，△DFC和△AED的相似比为$\frac{CD}{DA}=\frac{1}{2}，$
∴$\frac{S_{△DFC}}{S_{△AED}}=(\frac{CD}{DA})^2 = (\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}.$

11. 新考向 综合与实践（2023·贵港港南区期中）综合与实践：“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为$36^{\circ}$的等腰三角形。如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 36^{\circ}$，$AB = AC$。
【实践与操作】
(1)利用尺规作$\angle B$的平分线，交边$AC$于点$D$（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）。
【猜想与证明】
(2)请利用所学知识，证明点$D$是边$AC$的黄金分割点。

答案：
11.解：
(1)如图所示

(2)证明：在△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，
∴∠ABC = ∠ACB = 72°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠CBD = 36°.
∴AD = BD，∠BDC = 72°.
∴BD = BC.
∵∠BCD = ∠ACB，∠CBD = ∠CAB，
∴△BCD∽△ACB.
∴BC:AC = CD:BC.
∴AD:AC = CD:AD.
∴点D是边AC的黄金分割点.

12. (2023·南宁西乡塘区模拟)如图，在以$AB$为直径的半圆中，点$O$为圆心，点$C$在圆上，过点$C$作$CD// AB$，且$CD = OB$。连接$AD$，分别交$OC$，$BC$于点$E$，$F$，与$\odot O$相交于点$G$。已知$\angle ABC = 45^{\circ}$。
(1)求证：
①$\triangle ABF\backsim\triangle DCF$。
②$CD$是$\odot O$的切线。
(2)若$OA = 6$，求$EF$的长。

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答案： 12.解：
(1)证明：①
∵CD//AB，
∴∠FAB = ∠D.
∵∠AFB = ∠DFC，
∴△ABF∽△DCF.②
∵∠ABC = 45°，
∴∠AOC = 2∠ABC = 90°.
∵CD//AB，
∴∠DCO = ∠AOC = 90°.又
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线.
(2)过点F作FH//AB交OC于点H.
∵CD = OB = OA，∠DCE = ∠AOE，∠CED = ∠OEA，
∴△CDE≌△OAE(AAS).
∴CE = OE = 3，AE = DE.由勾股定理，得$AE = \sqrt{OA^2 + OE^2}=3\sqrt{5}.$
∵△ABF∽△DCF，
∴$\frac{CF}{FB}=\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}$
∵FH//AB，
∴△CHF∽△COB，△FHE∽△AOE.
∴$\frac{FH}{OB}=\frac{CF}{CB}=\frac{1}{3}·\frac{EF}{AE}=\frac{FH}{OA}=\frac{1}{3}·$
∴$EF = \sqrt{5}.$