《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

11. (本课时 T4 变式)若方程 $(m - 4)x^{|m - 2|} + 3x + 5 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程,则 $m$ 的值为0.

答案： 11.0

12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + 1)x^{2} + x + a^{2} - 1 = 0$ 的一个根是 $0$,则 $a$ 的值为(A)

A.$1$
B.$-1$
C.$\pm 1$
D.$0$

答案： 12.A

13. 已知一元二次方程 $ax^{2} + ax - 4 = 0$ 有一个根是 $-2$,则一次函数 $y = ax - 3$ 的图象经过的象限是(D)

A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限

答案： 13.D

14. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2} - bx - 2025 = 0$ 满足 $a + b = 2025$,则方程必有一根为(B)

A.$1$
B.$-1$
C.$\pm 1$
D.无法确定

答案： 14.B

$15. $新考向$ $数学文化$ $我国古代数学著作$《$九章算术$》$中有这样一道题$:“$今有户高多于广六尺$,$两隅相去适一丈$,$问户高、广各几何$?”$大意是$:“$有一扇矩形门的高比宽多$ 6 $尺$,$门的对角线长为$ 1 $丈$(1 $丈$ = 10 $尺$),$那么门的高和宽各是多少$?”$设门的宽为$ x $尺$,$根据题意可列方程为　　$x^{2}+(x+6)^{2}=10^{2}$　　$.$　　

答案： $15.x^{2}+(x+6)^{2}=10^{2}$

16. (教材九上 P4 综合运用变式)根据下列问题设未知数列方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式:
(1) 为响应“足球进校园”的号召,某校组织足球比赛,赛制为单循环形式(每两个队之间都要比赛一场),计划安排 $55$ 场比赛,求参赛的足球队个数.
(2) 一山羊养殖户要用 $36m$ 长的建筑材料建一个面积为 $80m^{2}$ 的矩形羊舍,求羊舍的长.

答案： 16.解：
(1)设参赛的足球队有x个.根据题意，得$\frac{x(x-1)}{2}=55.$整理化简，得$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-55=0.(2)$设羊舍的长为xm，则宽为$(\frac{36}{2}-x)m.$根据题意，得$x(\frac{36}{2}-x)=80.$整理，得$-x^{2}+18x-80=0.$

17. 探究与分析:
【问题情境】如图,点 $A,C$ 表示的数分别为 $1$ 和 $3$,宸宸同学在数轴上以 $C$ 为直角顶点作 $Rt\triangle ABC$,$BC = 1$,再以点 $A$ 为圆心,$AB$ 为半径画圆,交数轴于 $D,E$ 两点.莲莲同学说:“我发现,若 $D,E$ 分别表示 $m,n$,则 $x = m$ 是一元二次方程 $x^{2} + bx - 4 = 0$ 的一个根.”琮琮同学说:“$x = n$ 一定不是此方程的根.”
【问题解决】
(1) 求 $m$ 与 $n$ 的值.
(2) 求出 $b$ 的值.
(3) 你认为琮琮说得对吗? 为什么?

答案： 17.解：
(1)在$Rt\triangle ABC$中，
∵BC=1,AC=2,
∴$AB=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}.$
∴$AE=AD=AB=\sqrt{5}.$
∵OA=1,
∴$OE=AE-OA=\sqrt{5}-1,OD=AD+OA=\sqrt{5}+1.$
∴点D表示的数为$\sqrt{5}+1，$即$m=\sqrt{5}+1;$点E表示的数为$-\sqrt{5}+1，$即$n=-\sqrt{5}+1.(2)$把$x=\sqrt{5}+1$代入方程$x^{2}+bx-4=0，$得$(\sqrt{5}+1)^{2}+(\sqrt{5}+1)b-4=0，$解得b=-2.
(3)琮琮说得不对.理由如下：把$x=-\sqrt{5}+1$代入方程左边，得$(-\sqrt{5}+1)^{2}-2×(-\sqrt{5}+1)-4=5-2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}-2-4=0，$
∴x=n一定是此方程的根.