《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

【教材母题】如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边 BC = 120 mm，高 AD = 60 mm。把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
【母题分析】（1）从总体上讲本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比。
（2）解决本题的关键点：由 EF // GH，得到△AEF ∽ △ABC。
（3）考查形式：正方形内接于三角形，解决正方形的边长与三角形边长之间的关系。

答案： 解：设正方形的边长为$x$mm，则$EF=x$mm，$\because AD\perp BC$，$AD=60$mm，$\therefore AK=(60-x)$mm.$\because$正方形$EFHG$内接于$\triangle ABC$，$\therefore EF// GH.\therefore\triangle AEF\sim\triangle ABC.\therefore\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$，即$\frac{x}{120}=\frac{60-x}{60}$.解得$x=40.\therefore$这个正方形零件的边长是$40$mm.

1. 如图，已知正方形 DEFG 的顶点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，顶点 G，F 分别在边 AB，AC 上。如果 BC = 4，△ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是$\frac{12}{7}$。

答案： 1.$\frac{12}{7}$

2. 如图，矩形 EFGH 内接于△ABC，且边 FG 落在 BC 上，AD ⊥ BC，BC = 3，AD = 2，EF = $\frac{2}{3}$EH，那么 EH 的长为$\frac{3}{2}$。

答案： 2.$\frac{3}{2}$

3. (2024·桂林永福县期中改编)一块材料的形状是锐角三角形 ABC，下面分别对这块材料进行课题探究：
【类比探究】
(1)如图 1，若这块锐角三角形 ABC 材料可以加工成 3 个大小相同的正方形零件，请探究高 AD 与边 BC 的数量关系，并说明理由。
【拓展延伸】
(2)如图 2，若这块锐角三角形 ABC 材料可以加工成图中所示的 4 个大小相同的正方形零件，则$\frac{AD}{BC}$的值为$\frac{1}{2}$。

答案： 3.解：
(1)$AD=BC$.理由如下：设$AD$分别交$EF$，$GH$于点$M$，$N$，每个正方形的边长为$a.\because EF// GH$，$\therefore\triangle AEF\sim\triangle AGH.\therefore\frac{AM}{AN}=\frac{EF}{GH}=\frac{1}{2}$.
$\therefore AM=MN=a.\therefore AD=3a.\therefore\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}.\because EF// BC$，$\therefore\triangle AEF\sim\triangle ABC.\therefore\frac{EF}{BC}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}.\therefore BC=3a.\therefore AD=BC$.
(2)$\frac{1}{2}$