《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

$1. (1) $当$ x = $　　$1$　　$ $时，二次函数$ y = -x^{2} + 2x $有最$ $　　大　　$ $值，为$ $　　$1$　　$ .$　　
$(2) $当$ x = $　　$\frac{1}{2}$　　$ $时，二次函数$ y = 2x^{2} - 2x + 3 $有最$ $　　小　　$ $值，为$ $　　$\frac{5}{2}$　　$ .$　　

答案： 1.
(1)1 大$ 1 (2)\frac{1}{2} $小$ \frac{5}{2}$

2. 已知二次函数 $ y = 2x^{2} - 3x + c $ 的最小值为 $ \frac{23}{8} $，则 $ c $ 的值为 4 .

答案： 2.4

3. 已知二次函数 $ y = x^{2} - 2x - 3 $.
(1) 当 $ 2 \leq x \leq 5 $ 时，$ y $ 的最小值为 -3 ，最大值为 12 .
(2) 当 $ 0 \leq x \leq 3 $ 时，$ y $ 的最小值为 -4 ，最大值为 0 .

答案： 3.
(1)-3 12
(2)-4 0

4. 如图，将一根长 $ 2 $ m 的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是 (A)

A.$ \frac{1}{4} $ m²
B.$ \frac{1}{3} $ m²
C.$ \frac{1}{2} $ m²
D.$ 1 $ m²

答案： 4.A

5. 如图，这是一个长为 $ 20 $ m，宽为 $ 16 $ m 的矩形花园，根据需要将它的长缩短 $ x $ m，宽增加 $ x $ m，要想使修改后的花园面积达到最大，则 $ x $ 的值为 (C)

A.$ 1 $
B.$ 1.5 $
C.$ 2 $
D.$ 4 $

答案： 5.C

6. (教材九上 P52 习题 T4 变式) 已知一个直角三角形两直角边的和为 $ 20 $ cm，则这个直角三角形的最大面积为 50 cm².

答案： 6.50

7. (2024·泰安改编) 如图，小明的父亲想用长为 $ 60 $ m 的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园. 已知房屋外墙长 $ 40 $ m，当垂直于墙的边长为 15 m 时，可围成的菜园的面积最大，最大面积是 450 m².

答案： 7.15 450

8. 如图，在平面直角坐标系中，$ OA = 12 $ cm，$ OB = 6 $ cm，点 $ P $ 从点 $ O $ 开始沿 $ OA $ 边向点 $ A $ 以 $ 1 $ cm/s 的速度移动，点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿 $ BO $ 边向点 $ O $ 以 $ 2 $ cm/s 的速度移动，如果 $ P $，$ Q $ 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设运动时间为 $ t $ s，$ \triangle POQ $ 的面积为 $ y $ cm²，当 $ \triangle POQ $ 的面积最大时，$ t $ 的值为 1.5 .

答案： 8.1.5

9. (教材九上 P52 习题 T5 变式) 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AD = CD $，$ AB = BC $，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”. 由轴对称性质易知，直线 $ BD $ 为线段 $ AC $ 的垂直平分线. 若筝形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $，$ BD $ 满足 $ AC + BD = 6 $，试求筝形 $ ABCD $ 的面积的最大值，并求此时 $ AC $ 的长.

答案： 9.解：由题意，得$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot DO,S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BO，$则$S_{筝形ABCD}=$
$S_{\triangle ADC}+S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot DO+\frac{1}{2}AC\cdot BO=\frac{1}{2}AC\cdot (DO + BO)=$
$\frac{1}{2}AC\cdot BD.$令AC = x，则BD = 6 - x，$\therefore S_{筝形ABCD}=\frac{1}{2}x(6 - x)=$
$-\frac{1}{2}x^{2}+3x=-\frac{1}{2}(x - 3)^{2}+\frac{9}{2}。$$\therefore$当AC = 3时，$S_{筝形ABCD}$有最大值，
最大值为$\frac{9}{2}。$答：筝形ABCD的面积的最大值为$\frac{9}{2}，$此时AC的长为3。