《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

3. (2024·临夏州节选)在平面直角坐标系中，抛物线$y = -x^2 + bx + c$与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(3,0)$两点，与$y$轴交于点$C$，作直线$BC$。
(1) 求抛物线的解析式。
(2) 如图，点$P$是线段$BC$上方的抛物线上一动点，过点$P$作$PQ\perp BC$，垂足为$Q$，请问线段$PQ$是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。

答案： 3.解:
(1)$\because$抛物线$y=-x^{2}+bx + c$与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(3,0)$两点，$\therefore\begin{cases}-1 - b + c = 0\\-9 + 3b + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 2\\c = 3\end{cases}$。$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x + 3$。
(2)存在。过点$P$作$PN\perp AB$于点$N$，交$BC$于点$M$。$\because B(3,0)$，$C(0,3)$，$\therefore$直线$BC$的解析式为$y=-x + 3$。$\because OB = OC$，$\angle BOC = 90^{\circ}$，$\therefore\angle CBO = 45^{\circ}$。$\because\angle MNB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle PMQ=\angle NMB = 45^{\circ}$。$\because PQ\perp BC$，$\therefore\triangle PQM$是等腰直角三角形。$\therefore PM=\sqrt{2}PQ$。$\therefore PM$的值最大时，$PQ$的值也最大。设$P(m,-m^{2}+2m + 3)$，则$M(m,-m + 3)$，$\therefore PM=-m^{2}+2m + 3-(-m + 3)=-m^{2}+3m=-(m-\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}$。$\because -1＜0$，开口向下，$0＜m＜3$，$\therefore$当$m=\frac{3}{2}$时，$PM$的值最大，最大值为$\frac{9}{4}$。$\therefore PQ$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}PM=\frac{9\sqrt{2}}{8}$，此时$P(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$。

4. 如图，抛物线$y = x^2 + bx + c$经过点$(-2,5)$和$(2,-3)$，与两坐标轴的交点分别为$A$，$B$，$C$，它的对称轴为直线$l$。
(1) 求该抛物线的解析式。
(2) 求出点$A$，$B$，$C$的坐标。
(3) $P$是该抛物线上的点，过点$P$作$l$的垂线，垂足为$D$，$E$是$l$上的点。要使以$P$，$D$，$E$为顶点的三角形与$\triangle BOC$全等，求满足条件的点$P$，点$E$的坐标。

答案： 4.解:
(1)将点$(-2,5)$和$(2,-3)$代入$y=x^{2}+bx + c$，得$\begin{cases}4 - 2b + c = 5\\4 + 2b + c = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -2\\c = -3\end{cases}$。$\therefore$抛物线的解析式为$y=x^{2}-2x - 3$。
(2)令$y = 0$，则$x^{2}-2x - 3 = 0$，解得$x = 3$或$x = -1$。$\therefore$点$A$，$B$的坐标分别为$(-1,0)$，$(3,0)$。令$x = 0$，则$y=-3$。$\therefore C(0,-3)$。
(3)由点$A$，$B$的坐标易求得抛物线的对称轴为直线$x = 1$，且$OB = OC = 3$。根据题意可知，$\angle PDE=\angle BOC = 90^{\circ}$，则当$PD = DE = 3$时，以$P$，$D$，$E$为顶点的三角形与$\triangle BOC$全等。设点$P(m,n)$。
①当点$P$在抛物线对称轴右侧时，$m - 1 = 3$，解得$m = 4$。$\therefore n=4^{2}-2×4 - 3 = 5$。$\therefore P(4,5)$，$\therefore E(1,2)$或$(1,8)$；
②当点$P$在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性，可得$P(-2,5)$，此时点$E$的坐标同上。
综上所述，点$P$的坐标为$(4,5)$或$(-2,5)$，点$E$的坐标为$(1,2)$或$(1,8)$。