《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

1. (2022·柳州)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $ y = k_1x + b(k_1 \neq 0) $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k_2}{x}(k_2 \neq 0) $ 的图象相交于 $ A(3,4) $，$ B(-4,m) $ 两点.
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式.
(2) 若点 $ D $ 在 $ x $ 轴上，位于原点右侧，且 $ OA = OD $，求 $ \triangle AOD $ 的面积.

答案： 1. 解：
(1)
∵反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点A(3,4)，B(−4,m)，
∴$\begin{cases} 4 = \frac{k_2}{3}, \\ m = \frac{k_2}{-4}, \end{cases}$解得$\begin{cases} k_2 = 12, \\ m = -3. \end{cases}$
∴反比例函数的解析式为$y = \frac{12}{x}$，点B的坐标为(−4,−3).
∴$\begin{cases} 3k_1 + b = 4, \\ -4k_1 + b = -3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k_1 = 1, \\ b = 1. \end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y = x + 1$.
(2)
∵A(3,4)，
∴$OA = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
∵OA = OD，
∴OD = 5.
∴$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10$.

2. (2024·湖北改编)如图，一次函数 $ y = -x + m $ 的图象与 $ x $ 轴相交于点 $ A(3,0) $，与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $（$ k $ 为常数，$ k \neq 0 $）的图象在第二象限的部分相交于点 $ B(n,4) $.
(1) 求 $ m $，$ n $，$ k $ 的值.
(2) 若 $ C $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象在第二象限部分上的点，且 $ \triangle AOC $ 的面积小于 $ \triangle AOB $ 的面积，直接写出点 $ C $ 的横坐标 $ a $ 的取值范围.

答案： 2. 解：
(1)把点A(3,0)代入$y = -x + m$，得$0 = -3 + m$，解得$m = 3$.
∴$y = -x + 3$. 把点B(n,4)代入$y = -x + 3$，得$4 = -n + 3$，解得$n = -1$.
∴B(−1,4). 把点B(−1,4)代入$y = \frac{k}{x}$，得$4 = \frac{k}{-1}$，解得$k = -4$.
∴$m = 3$，$n = -1$，$k = -4$.
(2)$a ＜ -1$.

3. 【一题多解】如图，一次函数 $ y = kx + b $ 与反比例函数 $ y = \frac{4}{x}(x ＞ 0) $ 的图象相交于 $ A(m,4) $，$ B(2,n) $ 两点.
(1) 求一次函数的解析式.
(2) 根据图象，直接写出使 $ kx + b ＜ \frac{4}{x} $ 成立的 $ x $ 的取值范围.
(3) 求 $ \triangle AOB $ 的面积.

答案： 3. 解：
(1)
∵反比例函数$y = \frac{4}{x} (x ＞ 0)$的图象过点A(m,4)，
∴$4 = \frac{4}{m}$，解得$m = 1$.
∴点A的坐标为(1,4). 同理可得，点B的坐标为(2,2).
∵一次函数$y = kx + b$的图象过点A(1,4)，B(2,2)，
∴$\begin{cases} k + b = 4, \\ 2k + b = 2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = -2, \\ b = 6. \end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y = -2x + 6$.
(2)$0 ＜ x ＜ 1$或$x ＞ 2$.
(3)解法一：设直线AB与x轴、y轴分别相交于点C，D. 可求得点C的坐标为(3,0)，点D的坐标为(0,6).
∴$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle OCD} - S_{\triangle OCB} - S_{\triangle OAD} = \frac{1}{2} × 6 × 3 - \frac{1}{2} × 3 × 2 - \frac{1}{2} × 6 × 1 = 3$. 解法二：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N. 则利用$S_{\triangle AOB} = S_{梯形AMNB}$即可求解. 解法三：过点A作y轴的平行线交OB于点H. 求出直线OB的解析式，进而确定点H的坐标. 利用铅垂法$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}AH \cdot |x_B|$求得结果.