《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

11. (2024·南宁三中期中)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上.若点A，B的读数分别为$85^{\circ}$，$31^{\circ}$，则$\angle ACB$的度数是 (A)

A.$27^{\circ}$
B.$31^{\circ}$
C.$36^{\circ}$
D.$58^{\circ}$

答案： 11.A

12. 如图，点A，B，C，D在$\odot O$上，$AC\perp BC$，$AC=4$，$\angle ADC=30^{\circ}$，则BC的长为 (A)

A.$4\sqrt{3}$
B.8
C.$4\sqrt{2}$
D.4

答案： 12.A

13. 如图，AB是$\odot O$的直径，$\angle ACD=\angle CAB$，$AD=2$，$AC=4$，则$\odot O$的半径为$\sqrt{5}$.

答案： 13.$\sqrt{5}$

14. 新考向 真实情境 (2023·郴州)如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是$55^{\circ}$.为了监控整个展示区，则最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台.

答案： 14.4

15. 如图，AB为$\odot O$的直径，C是$\overset{\LARGE{\frown}}{AD}$的中点，连接BC，OC分别交AD于点E，F.
(1)求证：$\angle ABD=2\angle BCO$.
(2)若$BC=2\sqrt{3}$，$\angle DAB=30^{\circ}$，求OF的长.

答案： 15.解：
(1)证明：$\because C$是$AD$的中点，$\therefore AC = DC.\therefore \angle ABC = \angle CBD.\because OB = OC,\therefore \angle ABC = \angle BCO.\therefore \angle ABC = \angle CBD = \angle BCO.\therefore \angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = 2\angle BCO.$
(2)连接$AC.\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore \angle ACB = \angle ADB = 90^{\circ}.\because \angle DAB = 30^{\circ},\therefore \angle ABD = 60^{\circ}.\therefore \angle ABC = \angle CBD = 30^{\circ}.\therefore AB = 2AC.$在$Rt\triangle ABC$中，$AC^{2} + BC^{2} = (2AC)^{2}$，即$AC^{2} + (2\sqrt{3})^{2} = (2AC)^{2}$，解得$AC = 2$(负值舍去).$\therefore AB = 4.\because C$是

16. 新考向 阅读理解 (2024·南宁三中期中)阅读理解：
(1)【学习心得】
小赵同学在学习完本节内容后，发现在解决一些几何问题时，如果添加辅助圆，运用圆的知识，可以使问题变得非常容易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是两种类型.
①类型一，“定点+定长”：如图1，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle BAC=44^{\circ}$，D是$\triangle ABC$外一点，且$AD=AC$，求$\angle BDC$的度数.
解：若以点A(定点)为圆心，AB(定长)为半径作辅助圆$\odot A$(请在图1上画圆)，则点C，D必在$\odot A$上，$\angle BAC$是$\odot A$的圆心角，而$\angle BDC$是圆周角，从而可得到$\angle BDC=$22$^{\circ}$.
②类型二，“定角+定弦”：如图2，在$Rt\triangle ABC$中，$AB\perp BC$，$AB=6$，$BC=4$，P是$\triangle ABC$内部的一个动点，且满足$\angle PAB=\angle PBC$，求线段CP长的最小值.
解：$\because\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore\angle ABP+\angle PBC=90^{\circ}$.
$\because\angle PAB=\angle PBC$，
$\therefore\angle PAB+\angle ABP=90^{\circ}$.
$\therefore\angle APB=$$90^{\circ}$.(定角)
$\therefore$点P在以AB(定弦)为直径的$\odot O$上.
请完成后面的过程.
(2)【问题解决】
如图3，在矩形ABCD中，已知$AB=3$，$BC=4$，P是边BC上一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为2.
]

答案： 16.解：
(1)①图略.22 ②$90^{\circ}$ 连接$OC$交$\odot O$于点$P$，此时$PC$最小.$\because O$是$AB$的中点，$\therefore OA = OB = 3.$在$Rt\triangle BCO$中，$\angle OBC = 90^{\circ},BC = 4,OB = 3,\therefore OC = \sqrt{BC^{2} + OB^{2}} = 5.\therefore PC = OC - OP = 5 - 3 = 2.\therefore PC$的最小值为$2.$
(2)2