《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

11. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 的图象如图所示，则下列结论中不正确的是(D)

A.$ c \gt 0 $
B.图象与 $ x $ 轴的负半轴交于点 $ (-3,0) $
C.函数的最大值为 $ a - b + c $
D.$ ab \lt 0 $

答案： 11.D

12. 一次函数 $ y = ax + b $ 的图象如图所示，则二次函数 $ y = ax^{2}+bx $ 的图象可能是(D)

答案： 12.D

13. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $ 在抛物线 $ y = x^{2}-2x + 4 $ 上运动。过点 $ A $ 作 $ AC \perp x $ 轴于点 $ C $，以 $ AC $ 为对角线作矩形 $ ABCD $，连接 $ BD $，则对角线 $ BD $ 的最小值为3。

答案： 13.3

14. 如图，已知二次函数 $ y = x^{2}+ax + 3 $ 的图象经过点 $ P(-2,3) $。
(1) 求 $ a $ 的值和图象的顶点坐标。
(2) 点 $ Q(m,n) $ 在该二次函数图象上。
① 当 $ m = 2 $ 时，求 $ n $ 的值。
② 若点 $ Q $ 到 $ y $ 轴的距离小于 2，请根据图象直接写出 $ n $ 的取值范围。

答案： 14.解：
(1)把$P(-2,3)$代入$y=x^{2}+ax + 3$，得$3=(-2)^{2}-2a + 3$，解得$a = 2.\therefore y=x^{2}+2x + 3=(x + 1)^{2}+2.\therefore$顶点坐标为$(-1,2)$.
(2)把$x = 2$代入$y=x^{2}+2x + 3$，得$y = 11$，$\therefore$当$m = 2$时，$n = 11.\therefore2\leq n＜11$.

15. 新考向 推理能力 (2024·广西) 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^{2}+2ax + a - 3 $ 的最值问题展开探究。
【经典回顾】二次函数求最值的方法。
(1) 老师给出 $ a = -4 $，求二次函数 $ y = x^{2}+2ax + a - 3 $ 的最小值。
① 请写出对应的函数解析式；
② 求当 $ x $ 取何值时，函数 $ y $ 有最小值，并写出此时 $ y $ 的值。
【举一反三】
老师给出更多 $ a $ 的值，同学们求出对应的函数在 $ x $ 取何值时，$ y $ 取最小值。记录结果，并整理成表格：

注：$ * $ 为②的计算结果。
【探究发现】
老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你们的发现。”
甲同学：“我发现，老师给了 $ a $ 值后，我们只要取 $ x = -a $，就能得到 $ y $ 的最小值。”
乙同学：“我发现，$ y $ 的最小值随 $ a $ 值的变化而变化，当 $ a $ 由小变大时，$ y $ 的最小值先增大后减小，所以我猜想 $ y $ 的最小值中存在最大值。”
(2) 请结合函数解析式 $ y = x^{2}+2ax + a - 3 $，解释甲同学的说法是否合理。
(3) 你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，请说明理由。

答案： 15.解：
(1)①$a=-4$，$y=x^{2}+2ax + a - 3=x^{2}-8x - 7$.②$y=x^{2}-8x - 7=(x - 4)^{2}-23$，$\because1＞0$，$\therefore$当$x = 4$时，$y$取最小值，为$-23$.
(2)合理.理由：$y=x^{2}+2ax + a - 3=(x + a)^{2}-a^{2}+a - 3$，$\because1＞0$，$\therefore$当$x=-a$时，$y$取最小值.故甲同学的说法合理.
(3)正确.理由：当$x=-a$时，$y=x^{2}+2ax + a - 3=-a^{2}+a - 3=-(a-\frac{1}{2})^{2}-\frac{11}{4}.\because-1＜0$，$\therefore$当$a=\frac{1}{2}$时，$y$的最小值中取最大值，为$-\frac{11}{4}$.