《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

(2024·南宁天桃实验期中)在“车轮为什么是圆的”课题学习中，小青将车轮设计成半径为 2 的正 n 边形，在水平地面上模拟行驶.以 n=3 为例，如图 1，车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)，车轮中心的轨迹是 BD，C 为中心轨迹最高点(即$\overset{\frown}{BD}$的中点)，转动一次前后中心的连线是 BD(水平线)，如图 2，d 为点 C 到 BD 的距离(即 CE 的长).当 n 取 4，5，6 时，车轮中心的轨迹分别如图 3、图 4、图 5.

依次类推，当 n 取不同的值时，分别计算出 d 的值(结果精确到 0.001).具体数据如下表：

请协助小青完成以下任务.
(1)当 n=4 时，d 为何值？(参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$)
(2)根据表格数据，d 随 n 的变化情况为d随n的增大而减小；当车轮设计成圆形时，d=0，这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以将车轮设计成圆形.
(3)若路面是如图 6 所示的形状，可看成由半径为 2 的一些等弧首尾连接而成，$\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{\pi}{9}$，为确保车轮平稳滚动，则该车轮应设计成边数为几的正多边形？

答案：
(1)当$n = 4$时，$\angle BAD = 90^{\circ}$。$\because C$为$BD$的中点，$\therefore\angle BAC = \angle CAD = 45^{\circ}$。$\because AB = AD = AC = 2$，$\therefore AC\perp BD$，$BE = DE$。$\therefore\triangle ABE$为等腰直角三角形。在$Rt\triangle ABE$中，$AE = BE$，$\therefore BE^{2} + AE^{2} = AB^{2}$。$\therefore AE = \sqrt{2}$。$\therefore d = AC - AE = 2 - \sqrt{2} \approx 0.586$。$\therefore$当$n = 4$时，$d \approx 0.586$。
(2)$d$随$n$的增大而减小$0$
(3)设$EF$对应的圆心角为$\alpha^{\circ}$。$\because EF$的长为$\frac{\pi}{9}$，$\therefore\frac{2\pi\alpha}{180} = \frac{\pi}{9}$。$\therefore\alpha = 10$。$\therefore\frac{360}{\alpha} = \frac{360}{10} = 36$。答：该车轮应设计成边数为36的正多边形。