《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

10. 如图，用一根 $ 60 $ cm 的铁丝制作一个“日”字矩形框架 $ ABCD $，铁丝恰好全部用完. 设框架的宽 $ AB $ 为 $ x $ cm.
(1) 框架的长 $ AD $ 为 cm (用含 $ x $ 的代数式表示).
(2) 矩形框架 $ ABCD $ 面积的最大值为 cm².

答案： $10.(1)\frac{1}{2}(60 - 3x) (2)150$

11. (本课时 T7 变式) 两段相互垂直的墙 $ AB $ 和 $ AC $ 的长分别为 $ 12 $ m 和 $ 3 $ m，用一段长为 $ 23 $ m 的篱笆围成一个矩形菜园 (篱笆全部使用完)，如图所示，矩形菜园的一边 $ AD $ 由墙 $ AC $ 和一节篱笆 $ CD $ 构成，一边 $ AF $ 靠在墙 $ AB $ 上，一边 $ EF $ 上有一个 $ 2 $ m 的门. 假设篱笆 $ CD $ 的长为 $ x $ m，矩形菜园的面积为 $ S $ m² ($ S ＞ 0 $)，回答下面的问题：
(1) ① 用含 $ x $ 的式子表示篱笆 $ DE $ 的长为 (22 - 2x) m，$ x $ 的取值范围是 5\leq x＜11 .
② 菜园的面积能不能等于 $ 90 $ m²？若能，求出此时 $ x $ 的值；若不能，请说明理由.
(2) 求菜园面积的最大值.

答案： 11.解：$(1)①(22 - 2x) 5\leq x＜11 ②$菜园的面积能等于$90m^{2}.$根据题
意，得(3 + x)(22 - 2x)=90，整理，得$x^{2}-8x + 12 = 0.$解得$x_{1}=2,x_{2}$
$=6.\because5\leq x＜11，$$\therefore x = 6。$
(2)由题意，得$S=(3 + x)(22 - 2x)= -2x^{2}$
$+16x + 66 = -2(x - 4)^{2}+98.\because -2＜0，$$\therefore$图象的开口向下，对称轴
为直线$x = 4.\therefore$当x＞4时，S随x的增大而减小$.\because5\leq x＜11，$$\therefore$当x
=5时，S有最大值，最大值为$-2(5 - 4)^{2}+98 = 96。$答：菜园面积的最
大值为$96m^{2}。$

12. 【数形结合思想】(2023·广西) 如图，$ \triangle ABC $ 是边长为 $ 4 $ 的等边三角形，点 $ D $，$ E $，$ F $ 分别在边 $ AB $，$ BC $，$ CA $ 上运动，满足 $ AD = BE = CF $.
(1) 求证：$ \triangle ADF \cong \triangle BED $.
(2) 设 $ AD $ 的长为 $ x $，$ \triangle DEF $ 的面积为 $ y $，求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式.
(3) 结合 (2) 所得的函数，描述 $ \triangle DEF $ 的面积随 $ AD $ 的增大如何变化.

答案： $12.$解：　　
$(1)$证明：$\because\triangle ABC$是等边三角形，$\therefore\angle A=\angle B = 60^{\circ}，$$AB = AC.\because$　　
$AD = CF，$$\therefore AF = BD.$又$\because AD = BE，$$\therefore\triangle ADF\cong\triangle BED(SAS)。$　　
$(2)$分别过点$C，$$F$作$CH\perp AB，$$FG\perp AB，$垂足分别为$H，$$G.$在等边三　　
角形$ABC$中，$\angle A=\angle B=\angle ACB = 60^{\circ}，$$AB = BC = AC = 4，$$\therefore BH =$　　
$\frac{1}{2}AB = 2.\therefore$根据勾股定理，得$CH = 2\sqrt{3}。$$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CH =$　　
$4\sqrt{3}。$$\because AD = x，$$\therefore AD = BE = CF = x，$$AF = 4 - x.\because\angle A = 60^{\circ}，$$\therefore$　　
$\angle AFG = 30^{\circ}。$$\therefore AG=\frac{1}{2}AF。$$\therefore FG=\sqrt{AF^{2}-AG^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}AF=\frac{\sqrt{3}}{2}(4 -$　　
$x)。$$\therefore S_{\triangle ADF}=\frac{1}{2}AD\cdot FG=\frac{\sqrt{3}}{4}x(4 - x)。$由　　
$(1)$可知，$\triangle ADF\cong$　　
$\triangle BED，$同理可证$\triangle BED\cong\triangle CFE。$$\therefore S_{\triangle ADF}=S_{\triangle BED}=S_{\triangle CFE}=\frac{\sqrt{3}}{4}x(4 -$　　
$x)。$$\therefore y = S_{\triangle ABC}-3S_{\triangle ADF}=4\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{4}x(4 - x)=\frac{3\sqrt{3}}{4}x^{2}-3\sqrt{3}x +$　　
$4\sqrt{3}(0＜x\leq4)。$　　
$(3)$由　　
$(2)$可知，$y=\frac{3\sqrt{3}}{4}x^{2}-3\sqrt{3}x + 4\sqrt{3}，$　　
$\because\frac{3\sqrt{3}}{4}＞0，$　　
对称轴为直线$x = -\frac{-3\sqrt{3}}{2×\frac{3\sqrt{3}}{4}} = 2，$$\therefore$当$2＜x\leq4$时，$y$随$x$的增大而增　　
大；当$0＜x\leq2$时，$y$随$x$的增大而减小。故当$2＜x\leq4$时，$\triangle DEF$的面积随$AD$的增大而增大；当$0＜x\leq2$时，$\triangle DEF$的面积随$AD$的增　　
大而减小。