《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

1. 一元二次方程 $x^{2}+px+q = 0(p^{2}-4q＞0)$ 的两个根是(B)

A.$\frac{p\pm\sqrt{p^{2}-4q}}{2}$
B.$\frac{-p\pm\sqrt{p^{2}-4q}}{2}$
C.$\frac{p\pm\sqrt{p^{2}+4q}}{2}$
D.$\frac{-p\pm\sqrt{p^{2}+4q}}{2}$

答案： 1.B

2. 用公式法解方程：$2x^{2}+4x = x + 2$.
解：方程化为一般形式，得$2x^{2}+3x-2=0$.
$a=$$2$，$b=$$3$，$c=$$-2$，
$\Delta = b^{2}-4ac=$$25＞0$.
方程有两个不相等的实数根，为
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=$$\frac {-3\pm \sqrt {25}}{2× 2}$，
即 $x_{1}=$$\frac {1}{2}$，$x_{2}=$$-2$.

答案： 2.$2x^{2}+3x-2=0$ $2$ $3$ $-2$ $25＞0$ 两个不相等的 $\frac {-3\pm \sqrt {25}}{2× 2}$ $\frac {1}{2}$ $-2$

3. 方程 $2x^{2}-x - 1 = 0$ 的根是$x_1=1,x_2=-\frac {1}{2}$.

答案： 3.$x_1=1,x_2=-\frac {1}{2}$

4. 用公式法解下列方程：
(1) $x^{2}-3x + 2 = 0$.
(2) $2x^{2}+5x - 3 = 0$.
(3) $x^{2}+10 = 2\sqrt{5}x$.
(4) $x^{2}-4x = x-\frac{25}{4}$.

答案： 4.
(1)$\because a=1,b=-3,c=2,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4× 1× 2=1＞0$.$\therefore$方程有两个不相等的实数根.$\therefore x=\frac {3\pm \sqrt {1}}{2}=\frac {3\pm 1}{2}$.$\therefore x_1=2,x_2=1$.
(2)$\because a=2,b=5,c=-3,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=5^{2}-4× 2× (-3)=49＞0$.$\therefore$方程有两个不相等的实数根.$\therefore x=\frac {-5\pm \sqrt {49}}{2× 2}=\frac {-5\pm 7}{4}$.$\therefore x_1=-3,x_2=\frac {1}{2}$.
(3)$x^{2}-2\sqrt {5}x+10=0,\because a=1,b=-2\sqrt {5},c=10,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-2\sqrt {5})^{2}-4× 1× 10=-20＜0$.$\therefore$此方程无实数根.
(4)$x^{2}-5x+\frac {25}{4}=0,\because a=1,b=-5,c=\frac {25}{4}$,$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4× 1× \frac {25}{4}=0$.$\therefore$方程有两个相等的实数根.$\therefore x=\frac {5\pm \sqrt {0}}{2}$.$\therefore x_1=x_2=\frac {5}{2}$.

5. 若代数式 $3x^{2}+1$ 的值与 $x + 3$ 的值相等，求 $x$ 的值.

答案： 5.解：由题意，得$3x^{2}+1=x+3$，整理，得$3x^{2}-x-2=0$.$\because a=3,b=-1,c=-2,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4× 3× (-2)=25＞0$.$\therefore$方程有两个不相等的实数根.$\therefore x=\frac {1\pm \sqrt {25}}{2× 3}=\frac {1\pm 5}{6}$.$\therefore x_1=\frac {2}{3},x_2=1$.故$x$的值为$-\frac {2}{3}$或$1$.

6. 新考向 过程性学习 小明在利用公式法解方程 $x^{2}-5x = 1$ 时出现了错误，他的解答过程如下：
解：$\because a = 1$，$b=-5$，$c = 1$，(第一步)
$\therefore\Delta = b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×1 = 21＞0$.(第二步)
$\therefore$方程有两个不相等的实数根.
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$.(第三步)
$\therefore x_{1}=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$，$x_{2}=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$.(第四步)
(1) 小明的解答过程是从第一步开始出错的.
(2) 写出此题正确的解答过程.

答案： 6.
(1)一
(2)方程化为一般形式，得$x^{2}-5x-1=0$.$\because a=1,b=-5,c=-1,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4× 1× (-1)=29＞0$.$\therefore x=\frac {5\pm \sqrt {29}}{2}$.$\therefore x_1=\frac {5+\sqrt {29}}{2},x_2=\frac {5-\sqrt {29}}{2}$.